k倍区间（思维）

k倍区间

给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入

第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如，
输入：
5 2
1
2
3
4
5

程序应该输出：
6

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

核心思想：两个前缀和模k的值相同的区间，可以产生一个k倍区间。如下图，

已知a<b，suma，sumb分别为a，b的前缀和（从序列第一个数到它自身的所有数之和），且suma%k=x，sumb%k=x。那么可得（sumb-suma）%k=0。即由b-a产生的区间c，一定为一个k倍区间

那么我们就可以将前缀和模k的值为0，1，2…k-1的区间数分别求出来，然后分别计算。例如前缀和模k为1的区间有x个。那么就可以产生C(x,2)个k倍区间（即x(x-1)/2个）。然后对0~k-1分别进行此操作并求和。

for(int i=0;i<k;i++)
	{
		ans+=a[i]*(a[i]-1)/2;  //前缀和模k相同的区间中任意挑两个区间可产生一个k倍区间 
	}

需要注意的是还需在最后加上那些前缀和模k为0的区间。（即区间本身就是k倍区间）

注：经评论区提醒a[N]声明改为ll类型，当初可能没注意或者数据水了直接过了，太久远了（捂脸）

AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 100005
ll a[N];
int main()
{
	int n,k,x;
	ll sum=0;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		sum+=x;        //a[i]的前缀和   
		a[sum%k]++;		//将前缀和模k的值相同的区间放在一起 
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<k;i++)
	{
		ans+=a[i]*(a[i]-1)/2;  //前缀和模k相同的区间中任意挑两个区间可产生一个k倍区间 
	}
	ans+=a[0];  //最终结果加上前缀和模k为0的区间（区间自身就是k倍区间，无需组合） 
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}