剑指Offer 14——剪绳子-优快云博客

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1. 剑指Offer 14- I 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

1.1 递归

思路

如果使用递归、动态规划算法的话，要找出递推关系，这道题的递归关系是，将一段长为n的绳子，分为两段时，一段是i，另一段是n - i,另一段可以分，也可以不分，设f(n)代表，长度为n的绳子分为m段时的最大乘积，则
f(n) = Max(i * (n - i), i* f(n -i))，也就是从分2、3、4、5、6…的情况中选出最大的。这里你可能会有疑问为甚i不再分了，因为，具有对称性，虽然没有分，但是，这种情况已经包含了，当前一段是n-i，后一段长为i时的情况，和这种情况是一样的。

在这里插入图片描述

代码

 public static int f(int n) {
    if(n <= 3) return n - 1;
    int res = 0;
    //i表示从第i处开始切分
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        //这里之所以要和res比，是应为i值不确定，并不知道在哪分的时候绳子的乘积最大，要进行比较
        res = Math.max(res, Math.max((i * (n - i)),f(n - i) * i));
    }
    return res;
}

1.2 动态规划

思路

动态规划，其实就是由递归算法得来得，定义一个dp数组，dp[i]就表示长度为i得绳子得最大乘积。

代码

/动态规划算法
public static int f2(int n) {
     //dp[i],代表长度为i的绳子分成几段的最大乘积
     int[] dp = new int[n + 1];
     //i代表绳子的长度
     for(int i = 2; i <= n; i++ ){
         //j代表分的第一段的长度
         for(int j = 2; j <= i; j++) {
             //将绳子划分为两半，可以再分j*dp[i -j]，也可以不再分j*(i-j)，选出一个最大的
             //再和绳子第一段为2-j时的乘积比较，选出最大的
             dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max((j* (i - j)), j * dp[i - j]));
         }
     }
     return dp[n];
 }

1.3 贪心

这里，记住一个结论就好，就是当绳子大于3时，把绳子分成长度为3的段时，乘机最大，如果，剩余1，就拿一个3出来，分成2x2，如果剩余2，就分成一个长为2的。

class Solution {
    /* 贪心算法，当绳子分成长度为3的小段时，乘积最大，如果绳子分为n个长度为3的小段后
  	 剩余1，就拿出一个小段，分为2x2的，
    */
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n < 4) return n - 1;
        int a = n / 3;
        int b = n % 3;
        if(b == 0) {
            return (int)Math.pow(3, a);
        } else if(b == 1){
            return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
        }else{
            return (int)Math.pow(3, a) * b;
        } 
    }
}

2. 剑指Offer 14.II ——剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 1000

思路

上面的剪绳子可以用动态规划或者贪心做，这道题对于使用DP难度就增大了一些，因为数据范围变得比较大时，long已经不足以去存储中间结果的状态，但是由于DP做法是枚举各种剪的情况然后取最大值，因此只能通过使用BigInteger的方法去做，所以这道题，使用贪心算法解比较好。取余可以使用快速幂算法

代码

class Solution {
    //贪心算法，尽可能分成长度为3的小段
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <=  3) return n - 1;
        int m = n % 3;
        int p = 1000000007;
        //注意，题目中0<n<100,所以res 和x 要设为long类型
        long res = 1;
        long x = 3;
        //利用快速幂算法求出3的n-1次方 % p, a & 1 a>>= 1与 a % 2  a /= 2等效
        for(int a = n / 3 - 1; a > 0; a /= 2) {
            if((a % 2 ) == 1) {
                res = (res * x ) % p;
            }
            x = (x * x) % p;
        }
        //根据n%3的余数来决定最后一个长为3的段，怎么分
        //最后算出的乘积还要进行取模
        if(m == 0) return (int)(res * 3 % p);
        if(m == 1) return (int)(res * 4 % p);
        return (int)(res * 6 % p);
    }
}

参考：题解