傅里叶变换中，圆频率w与频率f之间的公式转化

信号处理中，最常用的傅里叶变换公式中，变换关系式如下：

在傅里叶变换时，自变量是圆频率/角频率与时间之间的转换：

而有时我们要得到的关系是以频率f为自变量的表达式，这时我们有时会常常就变换式前面的系数是否有1/2pi 而纠结，今天我就解释一下这个问题：

1.首先说明一下关于函数名的意义，即F(w)中的F代表的含义。函数名是函数的代号，它代表的是由自变量到函数值之间的映射关系（规律），举例来说；f（x）=4x+1，中的f代表将自变量乘以4之后再加1的一种运算。而f（x）=6xx+1中的f则代表将自变量平方以后，再乘以6，之后再加1的运算。只要对自变量施加的运算法则一样，我们同样可以写为g(x)=4x+1，g（x）=6xx+1。也就是不要太纠结到底是 f 还是 g 还是 F，关键看后面施加的运算法则。

2.回到开始的公式，常用的傅里叶变换公式得到一个自变量为w的函数，其函数值代表该信号在圆频率为w处的频率分量，显然圆频率w=w0处的函数值，应该与频率f=w0/(2*pi)处的函数值相等，因为在实际的物理意义上它们代表着同一种频率。由此可得下面的推导。

几点说明：1）从F1(f)的公式到F（f）的公式，其实就是一个书写习惯的问题，这个不能太钻牛角尖，可以参考我们学习反函数时候，最后结果是x=f(y)的，往往按照习惯要写成y=f(x)的形式，而这时候就是直接把x=f(y)里的x直接写为y，y直接写为x的。2）遇到感觉有些混淆概念的公式，不妨先多拆几个函数写，