《隐层数据脉络：非线性结构中的层次逻辑与算法映射》

最新推荐文章于 2025-08-05 19:50:13 发布

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#算法

非线性数据结构深度解析：从层次模型到网络拓扑

非线性数据结构深度解析：从层次模型到网络拓扑

非线性表:与线性表对立，在非线性表之中，数据之间并不是简单的前后关系。非线性表结构：二叉树、堆、图等。

非线性表的本质特征

非线性表是数据元素之间存在一对多或多对多关系的逻辑结构，其核心特征为：

非顺序性：数据元素不存在唯一的前驱和后继关系（区别于线性表）。
层次或网状特性：数据组织呈现树形分支或图状网络结构。
递归定义：多数非线性结构可递归分解为子结构（如树的子树、图的连通分量）。

树形结构：层次化数据的典型代表

树(Tree)

树[Tree]是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

有且仅有一个特定的称为根[Root]的结点；
当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：

根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

如图，是一棵普通树

度数：结点拥有的子树数目称为结点的度。

节点关系：

孩子结点
双亲结点
兄弟结点

节点层次：

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

树的深度：

树中结点的最大层次，如上图深度为4

二叉树

概念介绍

每个子节点只有两个节点的树，每个结点至多拥有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

二叉查找树

也称为有序二叉查找树,满足二叉查找树的一般性质,是指一棵空树具有如下性质：

任意节点左子树不为空,则左子树的值均小于根节点的值
任意节点右子树不为空,则右子树的值均大于于根节点的值
任意节点的左右子树也分别是二叉查找树
没有键值相等的节点

二叉树又分为：

完美二叉树
完全二叉树
完满二叉树

完美二叉树

又称为 满二叉树 ，除了叶子节点之外的每一个节点都有两个孩子节点，每层都被完全填充

完全二叉树

除了最后一层之外的其他每一层都被完全填充，并且所有的节点都保持向左对齐

完满二叉树

除了叶子节点之外的每一个节点都有两个孩子节点。

遍历操作

二叉树中的遍历规则有如下三种：

中序遍历：所谓的中序遍历就是先访问左节点，再访问根节点，最后访问右节点，即左-根-右遍历
先序遍历：所谓的前序遍历就是先访问根节点，再访问左节点，最后访问右节点，即根-左-右遍历(前序)
后序遍历：所谓的后序遍历就是先访问左节点，再访问右节点，最后访问根节点。即左-右-根遍历

查找最小值：沿着根节点的左子树一路查找，直到最后一个不为空的节点，该节点就是当前这个树的最小节点

查找最大值：沿着根节点的右子树一路查找，直到最后一个不为空的节点，该节点就是当前这个树的最大节点

查找前驱节点 ：小于当前节点的最大值

查找后继节点 ：大于当前节点的最小值

删除节点

二叉树中的删除节点：本质上是找前驱节点或者后继节点来替代

叶子节点直接删除
只有一个子节点的用子节点替代(本质上就是找的前驱节点或者后继节点，左节点就是前驱节点，右节点就是后继节点)
有两个子节点的，需要找到替代节点(替代节点就是前驱节点或者后继节点)

查找局限性

一个二叉查找树是由n个节点随机构成,所以，对于某些情况,二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链.如下图:

AVL树（高度平衡树）

BST存在的问题是，树在插入的时候会导致倾斜，不同的插入顺序会导致数的高度不一样，而树的高度直接影响了树的查找效率。最坏的情况所有的节点都在一条斜线上，这样树的高度为N。基于BST存在的问题，平衡查找二叉树（Balanced BST）产生了。平衡树的插入和删除的时候，会通过旋转操作将高度保持在LogN。其中两款具有代表性的平衡术分别为AVL树（高度平衡树，具备二叉搜索树的全部特性，而且左右子树高度差不超过1）和红黑树。

AVL树是如何实现平衡的呢？，具体是通过左旋或者右旋来实现的。具体如下图：