假设检验：为什么是卡方分布？

卡方检验作为广为使用的假设检验方法，其在目前进行数据分析时的使用频率简直不要太多，但许多博文在介绍时仅焦距于展现公式与典型实例，缺乏从 需要解决什么问题 - 如何解决相应问题 的角度进行解释。近期看了些卡方分布与卡方检验的相关博文，希望可以从另一个方向理解这两个内容，也借机梳理一下其间的逻辑，如有不足之处还请指正。

基本原理

让我们由果溯因，首先从卡方检验的作用开始说起。作为常用的假设检验方法，卡方检验（Chi-Square Test）希望衡量样本所代表的实际情况与理论假设间的差异性。比如想判断喝牛奶对感冒发病率有无影响，而假设两者间并无影响，就需要作出由假设而得到的理论四格表，并将其与样本统计获得的四格表作对比，判断两个表格之间存在的差异性。

由此产生的第一个问题是，如何衡量两者之间的差异性？


毫无疑问，此处需要使用卡方检验计算公式，即著名的Pearson ${\chi }^2$ ，先上公式：

χ 2 = ∑ ( A − E ) 2 E = ∑ i = 1 k ( A i − n p i ) 2 n p i \chi ^2 =\sum \frac{(A-E)^2}{E}= \sum_{i=1}^{k}\frac{(A_i-np_i)^2}{np_i} χ2=∑E(A−E)2​=i=1∑k​