堆和堆排序

堆

堆的概念

1. 树的形状：要求为完全二叉树（树的每一层都是满的除了最后一层最右边的元素可以缺位）
2. 父母优势（堆特性）：每一个节点的键都要大于或者等于它子女的键
   将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
   大堆：完全二叉树中发现：每个节点都比其孩子节点大
   小堆：完全二叉树中发现：每个节点都比其孩子节点小

堆的特性

1. 只存在一颗n个节点的完全二叉树。高度为[log2N]（向下取整）+1
2. 堆的根包含了堆的最大元素
3. 堆的一个节点以及该节点的子孙也是一个堆
4. 可以用数组来实现堆，方法是用从上到下，从左到右的方式记录堆元素，在数组的1~n的位置上存放堆元素，留下H[0]，让它空着或者放一个限位器，它的值大于堆中的任何一个元素，在这种表示法中：
   a.父母结点的键位于前[n/2]（向下取整）个位置中，而叶子结点的键会占据后[n/2]（向上取整）个元素中
   b.数组中，某个位于父母i的键的子女会在2i和2i+1。相应的对于一个位于i的键来说，它的父母将在[n/2]（向下取整）

堆的构造

1. 自底向上堆构造
2. 自顶向下堆构造

堆的插入和删除

堆排序

1. 第一步：构造堆，即为一个给定的数组构造一个堆
2. 第二步：删除最大键，即对剩下的堆应用n-1次根删除操作

堆排序代码实现

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 1010

using namespace std;

int S[MAX];

/*！！堆排序(S从0开始存储)！！*/

void PerDown(int p, int N)//P为父节点的位置 
{
    int Parent, Child;
    int X = S[p];//X为父节点值 
    //左儿子小于N时执行，数组从0开始
    for(Parent = p; Parent*2+1 < N; Parent = Child)//循环的目的是如果一个父节点小于子节点，和子节点换位后，需要继续和新的孩子节点比较 
    {
        Child = Parent*2+1;//注意S从0开始储存，所以这里的Child为Parent的左孩子 
        if(Child != N - 1 && S[Child] < S[Child + 1])
            Child++;//比较左右孩子，Child指向左右孩子中较大的 
        if(X >= S[Child]) break;//如果父节点的值大于左右孩子中较大的值，则退出循环 
        else S[Parent] = S[Child];//否则换位 
    }
    S[Parent] = X;
}

void HeapSort(int N)
{
    //将S调整为最大堆
    for(int i = N/2 - 1; i >= 0; i--)//遍历父母结点 
        PerDown(i, N);
    for(int i = N - 1; i >0; i--)
    {
        //将最大值换到最后
        swap(S[0], S[i]);
        //重新调整剩下的为最大堆，最后一个已排好忽略后面的
        PerDown(0, i);
    }
}

void Print(int N)
{
    for(int i = 0; i < N; i++) cout<< S[i] <<" ";
}

int main()
{
    int N ;
    cout<<"Please enter the number of the numbers:"; 
    cin>>N;
	cout<<"Please enter the numbers :"; 
    for(int i = 0; i < N; i++) cin >> S[i];
    HeapSort(N);//进行堆排序 
    Print(N);//输出 
    return 0;
}