HDU 5446 Unknown Treasure【Lucas】【excrt】

原创于 2019-08-02 23:20:12 发布 · 144 阅读

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#Lucas定理 #excrt定理 #裸题

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本文介绍了一道算法题目，通过使用Lucas定理和中国剩余定理来解决组合数学中的问题。首先对每个素数求Lucas定理，然后应用中国剩余定理求解最终答案。代码中包含了Lucas定理、快速乘法、快速幂、扩展欧几里得算法、中国剩余定理等关键算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446
思路：先对每个素数 $p$ 求Lucas，然后在求中国剩余定理。
Lucas+excrt裸题。
AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmul(ll x,ll y,ll mo)
{
    ll ans=0;
    while(y>0){
        if(y&1){
            ans=(ans+x)%mo;
        }
        x=(x+x)%mo;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll qpow(ll x,ll y,ll mo)
{
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1){
            ans=qmul(ans,x,mo);
        }
        x=qmul(x,x,mo);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll p[12];
ll x[12];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll d=a;
    if(b){
        d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
    else{
        x=1;
        y=0;
    }
    return d;
}
ll crt(ll x[],ll p[],ll n)
{
    ll mo=1;
    ll re=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        mo*=p[i];
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll xx,y,tm=mo/p[i];
        ll d=exgcd(tm,p[i],xx,y);//exgcd返回的xx可能为负
        xx = (xx%mo+mo)%mo;//解决掉xx为负数的情况
        ll tmp=qmul(tm,xx,mo);
        re=(re+qmul(tmp,x[i],mo))%mo;
    }
    re=(re%mo+mo)%mo;
    return re;
}
const int maxn=100010;
ll f[maxn];
ll inv[maxn];
void CalFact(ll p)
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<p;i++){
        f[i]=(f[i-1]*i)%p;
    }
    inv[p-1]=qpow(f[p-1],p-2,p);
    for(int i=p-2;i>=0;i--){
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p;
    }
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ret=1;
    while(n&&m){
        ll a=n%p;
        ll b=m%p;
        if(a<b){
            return 0;
        }
        ret=ret*f[a]%p*inv[b]%p*inv[a-b]%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ret;
}
ll n,m,k;
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        for(int i=0;i<k;i++){
            scanf("%lld",&p[i]);
            CalFact(p[i]);
            x[i]=Lucas(n,m,p[i]);
        }
        ll ans=crt(x,p,k);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}