HDU 2582: f(n)【打表找规律】

最新推荐文章于 2024-07-21 10:00:00 发布

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本文探讨了如何求解特定GCD序列问题，通过分析GCD(n)的规律，提出了预处理策略，针对每个n计算从3到n的Gcd序列和。利用素数筛法预先计算每个数的素因子个数和最大素因子，以此优化求解过程。

Discription
This time I need you to calculate the f(n) . (3<=n<=1000000)

f(n)= Gcd(3)+Gcd(4)+…+Gcd(i)+…+Gcd(n).
Gcd(n)=gcd(C[n][1],C[n][2],……,C[n][n-1])
C[n][k] means the number of way to choose k things from n some things.
gcd(a,b) means the greatest common divisor of a and b.

Input
There are several test case. For each test case:One integer n(3<=n<=1000000). The end of the in put file is EOF.

Output
For each test case:
The output consists of one line with one integer f(n).

Sample Input

3
26983

Sample Output

3
37556486

题意

f(n)= Gcd(3)+Gcd(4)+…+Gcd(i)+…+Gcd(n).
Gcd(n)=gcd(C[n][1],C[n][2],……,C[n][n-1])
C[n][i]为组合数，从n个中选i个。

给定n,求解f(n)

思路
找不到规律，打表找规律。
Gcd(n)的规律：
若是n素数，则是gcd(n)为它本身；
若是合数，且只有一个质因子，则是它最大的质因子。
若有两个质因子，则是1。
打表代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL INF=1000000000;
const LL MAX=1e6+50;
LL com[100][100];

void YangHui()
{
    memset(com, 0, sizeof(com));
    for (int i=1; i<=50; i++)
    {
        com[i][0]=com[i][i] = 1;
        for (int j=1; j<i; j++)
            com[i][j]=com[i-1][j-1]+com[i-1][j];
    }
}

int main()
{
    YangHui();
    for(int n=1; n<=50; n++)
    {
        LL ans=com[n][1];
        for(int i=2; i<n; i++)
            ans=__gcd(ans, com[n][i]);
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MAX = 1000010;

bool vis[MAX];
int n;
LL cnt[MAX]; // 记录素因子个数， 为素数时，cnt = 0
LL maxnum[MAX]; // 记录最大素因子
LL ans[MAX];

void Prime()
{
    for(int i = 2; i < MAX; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            vis[i]=1;
            for(int j=2;j*i<MAX;j++)
            {
                cnt[j*i]++;//统计某个数被记录的次数
                vis[i*j]=1;//标记非素数
                maxnum[i*j]=i;//某个数最大的质因子
            }
        }
    }
}

void init()
{
    for(int i=3; i<MAX; i++)  // 预处理
    {
        int x;
        if(cnt[i]==0)//记录次数为0，表示为素数
            x=i;
        else if(cnt[i]==1)
            x=maxnum[i];
        else
            x=1;
        ans[i]=ans[i-1] + x;
    }
}

int main()
{
    Prime();
    init();
    while(scanf("%d", &n)!=EOF)
    {
        printf("%I64d\n", ans[n]);
    }
    return 0;
}