数据结构5.1图

定义

图（graph）是n(n>=0)个元素的有限集。可以表示成二元组的形式，即：
Graph = （V，E）
V是图中数据元素的集合，通常称为顶点集；E是数据元素之间关系的集合，通常称为边集。数据元素用顶点表示，数据元素之间的关系用边（无方向）或弧（有方向）表示。
其中，边用不带方向的无序偶（x，y）表示，即（x，y）等价于（y，x）；弧用带方向的有序偶<x,y>表示，x为弧尾，y为弧头。
图中任何一部分图都称为该图的子图。

图的种类

1.无向图
2.有向图
3.完全图：任意两个顶点均有边或弧相连。若为无向完全图，边数e=n(n-1)/2，若为有向完全图，边数e=n(n-1)
4.稀疏图与稠密图：图中有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之为稠密图，图中只有顶点没有边或弧，边数e=0，则称为零图。没有边或弧相连的点称为孤立顶点。
5.赋权图：带权值的图称为赋权图或带权图，也称之为网。根据权值体现在边上还是在顶点上，又分别称为边赋权图和顶点赋权图，都有就统称为赋权图。

邻接点与度

1.邻接点：对于无向图，边(x,y)称顶点x和顶点y互为邻接点。对于有向图来说，<x,y>称顶点y为顶点x的邻接点，顶点x为顶点y的逆邻接点，或者称顶点x邻接到顶点y，顶点y邻接自顶点x。
2.顶点的编号：人为安排顶点的编号及邻接点的顺序关系
3.顶点的度：对于无向图，顶点v的度是指该点的邻接点的数目，或者说是与该顶点相连接的边的数目，记为TD（v）。对于有向图来说，顶点v的度由两部分构成，以顶点v为弧尾的弧的数目称为顶点v的出度，记为OD（v），以顶点v为弧头的弧的数目称为顶点v的入度，记为ID（v），因此顶点v的度为出入度之和。

路径

1.路径：一个顶点出发到另一个顶点截止的顶点及边或弧的序列，记为path = (Vi1,Vi2,…,Vin)，序列中起止点重合的路径称为回路或环。若顶点到自身有一条边或弧，则称该边或弧为自回路。
2.路径长度：路径中经过的边或弧的数目。带权路径长度指路径中经过的边或弧上的权值之和。
3.简单路径：序列中顶点不重复出现的路径为简单路径。除起止点外其余顶点不重复出现的回路称为简单回路或简单环。

简单图

即没有重复边或弧，也无自回路的图称为简单图。重复边指两个顶点之间有不止一条边相连。重复弧指两个顶点之间同一方向的弧不止一条。

连通图

1.连通：从顶点x到顶点y有路径想通，则称x到y是连通的
2.连通图：图中任意两个点均是连通的。对于有向图：强连通图指其每一顶点相互之间都有路径相通；单向连通图指其任意两个顶点之间至少从一个顶点到另一个顶点是相通的；部分单向连通图指其中至少存在一个顶点到其余各个顶点是相通的，称该顶点为根，这种有向图又称为有根图；弱连通图是指有向图中的弧除去方向变成无向图之后是连通的。
3.连通分量：无向图中的极大连通子图称为该图的一个连通分量。所谓极大连通子图是指该子图再添加一条边或一个顶点或一个子图后则不再连通。一个不连通的无向图中的每一个连通区域都是一个极大连通子图，即连通分量。

生成图和生成树

1.生成图：若一个图A为另一个图B的子图，称A为B的一个生成子图，简称图B的一个生成图。
2.生成树：若图B的生成图是树，则称该图为B的一颗生成树。
3.生成森林：若图B的每一个互不相交的子图为树，且这些子图包含图B中的所有顶点，则这些子图称为图B的一个生成森林。

无向树的等价定义

xi阿舍无向图G中有n个顶点，e条边，则下列无向树的定义是等价的。
1.若图G为连通图，且e=n-1，则该图为无向树
2.若图G为连通图，且无回路，则称该图为无向树
3.若图G中无回路，且e=n-1，则称该图为无向树
4.若图G为连通图，删除任意一条边后就不再是连通图，则为无向树
5.若图G中无回路，添加任意一条边之后就构成回路，则为无向树
6.若图G中任意两顶点之间有且仅有一条路径想通，则为无向树