《信号完整性》学习笔记——电感（二）

 
对整个电路中电感的研究往往比较复杂，当对于回路中其他部分还不太清楚的时候，我们可以构造一个纯粹的数学概念----局部电感。
 

1、局部电感

在计算磁力线圈时，假设一段导线所属电流回路的剩余部分中不存在电流，把这段电流所产生的电感称为局部电感。

需要强调的是，实际中，局部电流是不存在的，因为电流必须有回路。但局部电感的概念对于理解和计算电感的相关特征非常有用，所以引入局部电感的概念。

相对于电感分为自感和互感，局部电感也可分为局部自感和局部互感。

对于局部自感，有一些特殊形状的导体可以近似计算。如直圆杆导线，近似计算如下：

L = 5Len{ln(2Len/r)-3/4}

其中，L表示导线的局部自感，单位nH，r表示的导线的半径，单位in，Len表示导线长度，单位in。

例如，30AWG线规导线的直径近似为10mil，假如线长1in，则其局部自感为：

L = 5*1{ln(2*1/0.005)-3/4} = 26nH

由上可知：导线的局部自感约为25nH/in或者1nH/mm。

以此，可估算一个电容器的一端到过孔约50mil长的表面走线，其局部自感约为：25nH/in * 0.05in = 1.2nH；深度为64mil的电路板上的一个过孔，其局部自感约为：25nH/in * 0.064mil = 1.6nH。

由上面的公式可以看出：
1）当导体长度增加时，局部自感会增大；
2）当导体截面积增大时，局部电感将减小。也就是说，如果加大导线的半径，电流就会扩展开，从而局部电感减小。

对于局部互感，就是源自其中一条导线并完全环绕在另一条导线周围的磁力线匝数。两条导线之间的局部互感仅是其各自局部自感的一小部分。

两条直的圆杆导线之间的局部互感近似式为：

M = 5Len{ln(2Len/s)-1}

其中，M表示导线之间的局部互感，单位nH，Len表示两圆杆的长度，单位in，s表示两导线的中心距，单位in。上式是当s<<Len时的一阶表达式。

例如，100mil长的两条键合线，其各自的局部自感均为2.5nH。如果它们之间的间距为5mil，则局部互感为1.3nH。换句话说，如果其中一条键合线中有1A的电流，则在另一条键合线周围就会有：1.3nH * 1A = 1.3nWb的磁力线圈。这时局部互感约为任一键合线的局部自感的50%。

当两个导线段的间距远大于导线长度时，两段导线之间的局部互感小于任一导线局部自感的10%，通常可忽略不计。
 

2、有效电感、总电感或净电感以及地弹

有效电感、总电感或净电感这三种说法的意思是一样的，指的是回路中的电流为单位安培时，环绕在回路中某一段线路周围的磁力线匝总数，其中包括源于整个回路中任何电流段的磁力线匝数。
 

图1  

如图1所示，回路的两个支路a和b都有相应的局部自感，分别记为La和Lb；两条支路之间存在互感，记为Lab；回路中的电流记为I，且支路a和b中的电流大小相等，但方向相反。

以支路b为例，支路b周围的磁力线圈一部分源于支路b的电流，即自磁力线圈，其磁力线匝数为：Nb=I * Lb；同时，支路b周围的另一些磁力线圈是源于支路a电流的互磁力线圈，其匝数为：Nab=I * Lab。
由于a和b中的电流方向相反，所以互磁力线的方向与支路b的自磁力线方向相反。于是，支路b周围磁力线匝总数为：Ntotal = Nb - Nab = (Lb - Lab) * I。
其中，（Lb - Lab）称为支路b的总电感、净电感或有效电感。

如果这第二条支路是返回路径，则称在该返回路径上产生的电压为地弹。
返回路径上的地弹电压降为：Vgb = Ltotal * dI/dt = (Lb - Lab) * dI/dt。
其中，Vgb表示地弹电压，Ltotal表示返回路径的净电感，I表示回路中的电流，Lb表示返回路径支路的局部自感，Lab表示返回路径和初始路径之间的局部互感。
 

3、如何减小地弹

地弹是产生开关噪声和电磁干扰的主要原因，主要与返回路径的总电感和共用返回电流路径有关。
为了减小地弹电压噪声，比较有效的措施有：
1）通过使用短而宽的互连以减小返回路径的局部自感；
2）将电流及其返回路径尽量靠近以增大两支路之间的互感。

运用前面的近似计算，假如每条键合线的直径均为1mil，长度均为100mil，则其局部自感约为2.5nH。当中心距s大于100mil，则每条键合线的有效电感就近似等于其各自的局部自感；当中心距为5mil时，互感会明显增加，有效电感可减少至1.3nH，降幅高于50%。
有效电感越小，键合线两端的电压降就越低，芯片中的地弹电压噪声也就越低。

假如键合线的有效电感为2.5nH，电流为100mA，电流切换时间为1ns，不考虑其他电流的影响，则键合线两端产生的地弹电压为：Vgb = 2.5nH * 100mA/1ns = 250mV。
如果有效电感降至1.3nH，则地弹电压噪声将减小为：Vgb = 1.3nH * 100mA/1ns = 130mV，明显减小。
 
 
 
参考文献：《信号完整性与电源完整性分析》（第三版）