图形学笔记（二十）粒子、刚体、流体的模拟—— 欧拉方法、Errors 和 Instability、中点法、自适应步长、隐式欧拉方法、Runge-Kutta方法、刚体与流体模拟（质点法、网格法、MPM）

图形学笔记（十九）粒子、刚体、流体的模拟—— 欧拉方法、Errors 和 Instability、中点法、自适应步长、隐式欧拉方法、Runge-Kutta方法、刚体与流体模拟（质点法、网格法、MPM）
结束

1 Single Particle Simulation 单个粒子模拟

1.1 单个粒子的运动

首先研究一个粒子的运动然后泛化到大多数粒子。

我们线认为粒子的运动由速度场(velocity vector field)决定，这个速度场就是一个位置和时间的函数：
$$v(x,t)$$

计算粒子的位置（随时间变化）需要解一个一阶的常微分方程(不存在对其他变量的微分或导数First-order意味着只存在一阶导数)，
$$\frac{dx}{dt}=\dot{x}=v(x,t)$$

1.2 Euler’s Method 欧拉方法

可以使用欧拉方法对给定初始位置和速度场的点求解经过时间t后所处的位置。

特点 欧拉方法是一种简单的迭代方法，经常被使用、不准确、大多数都不稳定。
$$\begin{gathered} x^{t+\Delta t}=x^t+\Delta t{\dot{x}}^t \\ {\dot{x}}^{t+\Delta t}=x \end{gathered}$$