20190802《线性代数》arrange youdao

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本文深入探讨了向量的基本概念，包括向量的表示、线性组合与线性相关性的定义，以及如何判断向量组是否线性无关。通过实例讲解了极大线性无关组的求解方法，并介绍了线性方程组的解决技巧，适用于数学和工程领域的初学者。

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向量 vector

1). 由n个数 $a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成的有序数组 $(a1,a2,⋯ ,an)(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ ，向量元素成为分量，写成行为行向量，写成列为列向量

向量的线性关系

1). 零向量可由任意向量表示
2). 向量组中任一向量可由向量组表示
3). 任意向量可由n维单位（基本）向量组表示

线性相关与线性无关

若存在一组不全为0的 $k_i$ ，使 $k1⋅α1+k2⋅α2+⋯+kn⋅αn=0k_1 \cdot \alpha_1 + k_2 \cdot \alpha_2 + \cdots + k_n \cdot \alpha_n = 0$ ，则 $α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关，否则为线性无关
1). 向量组中两向量曾比例，一定线性相关
2). 含零向量的任意向量组一定线性相关
3). 一个零向量必线性相关
4). 任意一个非零向量必线性无关
5). 线性无关的向量组，接长向量组也无关
6). 线性相关的向量组，截短向量组也相关
例 $bm)\begin {cases} \alpha_s = (a_1 ~ a_2 ~ \cdots ~ a_n) \\ \beta_s = (b_1 ~ b_2 ~ \cdots ~ b_m) \end {cases}$
$bk)\begin {cases} \alpha_l = (a_1 ~ a_2 ~ \cdots ~ a_n ~ \cdots ~ a_s) \\ \beta_l = (b_1 ~ b_2 ~ \cdots ~ b_m ~ \cdots ~ b_k) \end {cases}$

线性组合与线性相关

定理1. $α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关 $⟺\Longleftrightarrow$ 至少一个向量可由其余向量表示
定理2. $α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关 $α1,α2,⋯ ,αs,β\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta$ 线性相关 $⟺β\Longleftrightarrow \beta$ 可由 $α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 唯一表示

替换定理
1). $α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，可由 $β1,β2,⋯ ,βt\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 表示，则 $\leq t$ ；
2). $α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可由 $β1,β2,⋯ ,βt\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 表示，若 $s > t$ ，则 $α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关

推论1. m个n维向量必线性相关， $m > n$
两个等价的线性无关向量组含向量的个数相同

向量组的秩：极大线性无关组含向量的个数
极大线性无关组：
$α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 的部分组 $α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$
1). $α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关；
2). 每个向量均可由 $α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 表示；
3). $α1,α2,⋯ ,αr,αr+1\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, \alpha_{r+1}$ 线性相关
定理： $α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可由 $β1,β2,⋯ ,βt\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 表示，则 $r(α1,α2,⋯ ,αs)≤r(β1,β2,⋯ ,βt)r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s) \leq r(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t)$

行秩
矩阵每行为一个行向量，组成行向量组，其极大线性无关组的数量即为行秩，同理由列秩。
行秩 = 列秩 = 矩阵的秩
$r(AB) = min\{r(A), r(B)\}$

行向量的线性关系与列向量的线性关系完全一样
极大线性无关组的求法：
1). 不管原向量是行或列，均按列构成矩阵；
2). 只做初等行变换，化为行简化阶梯形；
3). 首非零元所在列做极大线性无关组；
4). 其余向量表示系数直接写出即可
例3.3.3
求 $α1=(1−22−1)\alpha_1 = \begin {pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ -1 \end {pmatrix}$ ， $α2=(2−480)\alpha_2 = \begin {pmatrix} 2 \\ -4 \\ 8 \\ 0 \end {pmatrix}$ ， $α3=(−24−23)\alpha_3 = \begin {pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \\ 3 \end {pmatrix}$ ， $α4=(3−60−6)\alpha_4 = \begin {pmatrix} 3 \\ -6 \\ 0 \\ -6 \end {pmatrix}$ 的一个线性无关组，并用该线性无关组表示
解：
$(12−23−2−44−628−20−103−6)\begin {pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ -2 & -4 & 4 & -6 \\ 2 & 8 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & -6 \end {pmatrix}$ $初等行变换→\underrightarrow{初等行变换}$ $(10−360112−3200000000)\begin {pmatrix} 1 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}$
极大线性无关组为
$β1=(1000)\beta_1 = \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix}$ ， $β2=(0100)\beta_2 = \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix}$ ， $β3=−3β1+12β2\beta_3 = -3 \beta_1 +\frac{1}{2} \beta_2$ ， $β4=6β1−32β2\beta_4 = 6 \beta_1 - \frac{3}{2} \beta_2$
行向量的线性关系与列向量的线性关系完全一样，故有极大线性无关组为 $α1=(1−22−1)\alpha_1 = \begin {pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ -1 \end {pmatrix}$ ， $α2=(2−480)\alpha_2 = \begin {pmatrix} 2 \\ -4 \\ 8 \\ 0 \end {pmatrix}$
$α3=−3α1+12α2\alpha_3 = -3 \alpha_1 +\frac{1}{2} \alpha_2$ ， $α4=6α1−32α2\alpha_4 = 6 \alpha_1 - \frac{3}{2} \alpha_2$

线性方程组

鸡兔同笼问题：
例，有鸡兔共10只，脚30只，问鸡几只，兔几只
解：设鸡 $x_1$ 只，兔 $x_2$ 只，有 ${x1+x2=102x1+4x2=30\begin {cases} x_1 + x_2 = 10 \\ 2 x_1 + 4 x_2 = 30 \end {cases}$ $表示为增广矩阵→\underrightarrow{表示为增广矩阵}$ $(11102430)\left( \begin {array} {cc|c} 1 & 1 & 10 \\ 2 & 4 & 30 \end {array} \right)$ 经初等行变换得 $(105015)\left( \begin {array} {cc|c} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 5 \end {array} \right)$ ，则有 ${x1=5x2=5\begin {cases} x_1 = 5 \\ x_2 = 5 \end {cases}$

例：有 ${x1+x2+x3=1x1−x2−x3=−32x1+9x2+10x3=11\begin {cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 - x_3 = -3 \\ 2x_1 + 9x_2 + 10x_3 = 11 \end {cases}$ ，求 $x_1, x_2, x_3$
解：表示为增广矩阵 $A‾\overline{A}$ $\left( \begin {array} {ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -3 \\ 2 & 9 & 10 & 11 \end {array} \right)$ 经初等变换有 $\left( \begin {array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -5 \end {array} \right)$ ，则有 ${x1=−1x2=7x3=−5\begin {cases} x_1 = -1 \\ x_2 = 7 \\ x_3 = -5 \end {cases}$