数论入门篇

欧几里得定理

$gcd(a,b)=gcd(a\%b,b)$(a>=b)
给出简单证明:
可以知道$gcd(a,b)<=b且为b的因子$
$a=mb+r$容易得到左边的mb部分一定可以被b的所有因子整除,所以不会对结果造成影响，所以得证对于a>=b,$gcd(a,b)=gcd(a\%b,b)$。
递归求解,当b=0时返回a即可。

拓展性质:对于a>=b,$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$=$gcd(a+b,b)$
即$gcd(a+k\ast b,b)=gcd(a,b)$,k为整数

裴蜀定理(贝祖定理)

$ax+by=gcd(a,b)$
对于$a$,$b$的$gcd(a,b)$,一定存在系数x和y，使得:
$ax+by=gcd(a,b)$

拓展欧几里得定理

对贝祖定理系数的求解过程称为拓展欧几里得定理

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
   
    if(b==0)
    {
   
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else {
   
        ll g=exgcd( b, a % b, y, x);
        y -= a / b * x;
        return g;
    }
}

证明:
$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$
$b{x}_2+(a\%b)y_2=gcd(a,b)$
联立两个等式可得：
$a\cdot x_1+b\cdot y_1$
$=b\cdot x_2+(a\%b)y_2$
$=b\cdot x_2+(a-a/b\cdot b)y_2$
$=a\cdot y_2+b\cdot (x_2-a/b\cdot y_2)$
可以得到:
$x_1=y_2$
$y_1=x_2-a/b\cdot y_2$

定理的一些基本应用
1.求$x$模$p$的逆元
2.关于系数的变化
对于 $ax+by=gcd(a,b)$
两边同除以$gcd(a,b)$,
则a与b变成了素数p和q,
$px+qy=1$
系数x,y可以随意变动,
$x$每增大$q$,$y$就减少$p$,反之亦然。

算数基本定理：

一个数可被唯一地表示成若干个素数的乘积。
$x=p_1^{cn{t}_1}\ast p_2^{cn{t}_2}\ast p_3^{cn{t}_3}\ast \cdots \ast p_n^{cn{t}_n}$
$cn{t}_i$表示x分解后的乘积表达式中有$cn{t}_i$个$p_i$.
定理的一些基本应用
1.求出x的因子个数
f a c t o r C n t = ( c n t