KC看星(star)

$$\mathrm{K}\mathrm{C}看星\left(\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\right)$$

题目链接：$\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{L}比赛1496$

题目

“一闪一闪亮晶晶，满天都是小星星”

Kc 吟唱着歌谣，躺在草坪上边想着她边看起了星星。 Kc 刚刚结识了笛卡尔这位好基友，认为他的坐标系非常神奇。于是他随机地选出了 $8$ 颗星星，并且给它们标上了坐标。 Kc 又不甘寂寞，于是思考起一个问题：这八个点能否恰好构成一个正方形和一个矩形呢？

输入

输入文件包括 $1$ 行 $16$ 个数，表示 $8$ 个星星的坐标，坐标绝对值不超过 $10000$ 。

输出

输出文件第一行是 “YES” 或者 “NO” 。表示是否有解。

若有解则第二行依次输出正方形每个顶点的序号。第三行依次输出矩形每个顶点的序号。序号即为输入的顺序。

另外注意：因为 kc 是一个刁端的人，所以他要求第二行和第三行这八个数要字典序最小。

四点共线不能认为是正方形或矩形

样例输入

0 0 10 11 10 0 0 11 1 1 2 2 2 1 1 2

样例输出

YES
5 6 7 8
1 2 3 4

思路

这道题就直接暴力。

就枚举全排列，然后看能不能前 $4$ 个点组成正方形，后面选的 $4$ 个点组成矩形。

至于怎么判断是不是，就通过性质：

1. 四条边相等，对角线相等的图形是正方形
2. 对边相等，对角线相等的图形是矩形

就判断满不满足这两个性质，来判断是不是正方形和矩形。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm> 

using namespace std;

int x[11], y[11], dis[11][11], a[11];
bool yes, in[11];

void check() {
	if (dis[a[1]][a[2]] == dis[a[1]][a[4]] && dis[a[1]][a[2]] == dis[a[2]][a[3]] && dis[a[2]][a[3]] == dis[a[3]][a[4]])//正方形四条边相等
		if (dis[a[1]][a[3]] == dis[a[2]][a[4]])//正方形对角线相等
			if (dis[a[5]][a[6]] == dis[a[7]][a[8]] && dis[a[5]][a[8]] == dis[a[6]][a[7]])//矩形对边相等
				if (dis[a[5]][a[7]] == dis[a[6]][a[8]]) {//矩形对角线相等
					yes = 1;//标记找到答案
					sort(a + 1, a + 4 + 1);//按字典序排序
					sort(a + 5 + 1, a + 8 + 1);
					printf("YES\n");//输出
					for (int i = 1; i <= 4; i++)
						printf("%d ", a[i]);
					printf("\n");
					for (int i = 5; i <= 8; i++)
						printf("%d ", a[i]);
					return ;
				}
}

void dfs(int len) {
	if (yes) return ;//已经找到一个可行的
	if (len > 8) {//找到一种排列
		check();
		return ;
	}
	for (int i = 1; i <= 8; i++)//枚举下一个数可以是什么
		if (!in[i]) {
			in[i] = 1;
			a[len] = i;
			dfs(len + 1);
			in[i] = 0;
		}
}

int main() {
	for (int i = 1; i <= 8; i++)
		scanf("%d %d", &x[i], &y[i]);//读入
	
	for (int i = 1; i <= 8; i++)
		for (int j = 1; j <= 8; j++)
			if (i != j)//预处理两点的位置
				dis[i][j] = (x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j]);
	
	dfs(1);//暴力全排列
	
	if (!yes) printf("NO");//没有方案输出
	
	return 0;
}