动态规划经典题目加总结

动态规划经典题目加总结

动态规划理解：将子问题用递推的方法，并且将中间结果保留以避免重复计算的方法就叫做动态规划，动态规划通常用来求最优解能够用动态规划求最优解的问题必须满足：最优解的每个局部都是最优d的。

题一：最长 公共子序列

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题目描述
我们称序列Z=<z1,z2,…,zk>是序列X=<x1,x2,…,xm>的子序列当且仅当存在严格上升的序列<i1,i2,…,ik>，使得对j=1,2,…,k,有xij=zj。比如Z=<a,b,f,c> 是X=<a,b,c,f,b,c>的子序列。
现在给出两个序列X和Y，你的任务是找到X和Y的最大公共子序列，也就是说要找到一个最长的序列Z，使得Z既是X的子序列也是Y的子序列。
输入
输入包括多组测试数据。每组数据包括一行，给出两个长度不超过500的字符串，表示两个序列。两个字符串之间由若干个空格隔开。

输出
对每组输入数据，输出一行，给出两个序列的最大公共子序列的长度。

样例输入
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
样例输出
4
2
0
提示
来源
JC动态规划

转载于**详细解析**

二，算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,…xn) 和 Y={y1,y2,…ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛…）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,…x(n-1)) 和 (y1,y2,…yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,…xn) 和 (y1,y2,…y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}

由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

②重叠子问题

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？

OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题…

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))

说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）

c[i,j]表示：(x1,x2…xi) 和 (y1,y2…yj) 的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

这张DP表很是重要，从中我们可以窥见最长公共子序列的来源，同时可以根据这张表打印出最长公共子序列的构成路径

代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
char a[500],b[500];
int max(int a,int b)
{
	if(a>b)
	return a;
	else
	return b;
}
int main()
{
	while(scanf("%s %s",a,b)!=EOF)
	{
		
        int dp[500][500];
		int i,j,len1,len2,l1,l2;

        l1=strlen(a);
        l2=strlen(b);
        for(i=0;i<l1;i++)
        dp[i][0]=0;
        for(j=0;j<l2;j++)
        dp[0][j]=0;
        for(i=1;i<=l1;i++)
        for(j=1;j<=l2;j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1]) 
			dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
        }
			printf("%d\n",dp[l1][l2]);
	}
}

`

题目二：最长上升子序列

题目描述
一个数的序列bi，当b1<b2<…<bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1,a2,…,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiK)，这里1≤i1<i2<…<iK≤N。比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1,3,5,8)。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入
输入的第一行是序列的长度N(1≤N≤1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出
最长上升子序列的长度。

样例输入
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
4
提示
来源

此题比较easy
直接代码加注释

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int max(int a,int b)
{
	if(a>b)
	return a;
	else
	return b;
}
int main()
{
	int n;
	int a[1010];
	int dp[1010];
	int i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++)
	scanf("%d",&a[i]);
	
	int res=0;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		dp[i]=1;
		for(j=0;j<=i;j++)
		{
			if(a[j]<a[i])
			dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);//若i位置的数大于位置那么久在他原来计算好的长度dp[j]中加一 
		}
		res=max(res,dp[i]);
	}
	
	printf("%d\n",res);
}

题3

I NEED A OFFER!

Speakless很早就想出国，现在他已经考完了所有需要的考试，准备了所有要准备的材料，于是，便需要去申请学校了。要申请国外的任何大学，你都要交纳一定的申请费用，这可是很惊人的。Speakless没有多少钱，总共只攒了n万美元。他将在m个学校中选择若干的（当然要在他的经济承受范围内）。每个学校都有不同的申请费用a（万美元），并且Speakless估计了他得到这个学校offer的可能性b。不同学校之间是否得到offer不会互相影响。“I NEED A OFFER”，他大叫一声。帮帮这个可怜的人吧，帮助他计算一下，他可以收到至少一份offer的最大概率。（如果Speakless选择了多个学校，得到任意一个学校的offer都可以）。
Input
输入有若干组数据，每组数据的第一行有两个正整数n,m(0<=n<=10000,0<=m<=10000)
后面的m行，每行都有两个数据ai(整型),bi(实型)分别表示第i个学校的申请费用和可能拿到offer的概率。
输入的最后有两个0。
Output
每组数据都对应一个输出，表示Speakless可能得到至少一份offer的最大概率。用百分数表示，精确到小数点后一位。
Sample Input
10 3
4 0.1
4 0.2
5 0.3
0 0
Sample Output
44.0%

解析： 和01背包问题如出一辙：[01背包问题详解]
(https://www.jianshu.com/p/b86148c10142)

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
double min(double a,double b)
{
	if(a>b)
	return b;
	else
	return a;
}
int main()
{
	int m,n;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int i,j,k;
	while(n||m)
	{
		int cost[m];
		double rate[m];
		for(i=0;i<m;i++)
		{
			scanf("%d%lf",&cost[i],&rate[i]);
			rate[i]=1.0-rate[i];
		}
		
		double minrate[n+1];
		for(i=0;i<n+1;i++)
		{
			minrate[i]=1.0;
		}
		for(i=0;i<m;i++)
		{
			for(j=n;j>=cost[i];j--)
			{
				double rate1=minrate[j];//本来的概率
				double rate2=minrate[j-cost[i]]*rate[i];//选择此学校后的概率 
				minrate[j]=min(rate1,rate2);
			}
		}
		printf("%.1lf%%\n",100.0*(1.0-minrate[n]));
		scanf("%d %d",&n,&m);
	}
}