【算法】n阶行列式求值 全排列

行列式求值&&全排列

个人感觉自己写的行列式求值的程序与全排列的程序有几分神似，所以就把它们放到一起啦。

先来看求n阶行列式的程序

#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>
//C语言初学者，欢迎大家指正
void show(int **p,int size)                //打印出数组中的元素
{
    int i,j;
    for (i=0;i<size;i++){
        for (j=0;j<size;j++)
        {
            printf("%-5d",p[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

long long int hanglieshi(int **p,int m,int n)      //（核心函数）求n阶行列式的值
{
    int i,j,temp,flag=1;
    long long int result=0;
    if (m==n-1)                        //递归的出口
        return p[m][m];
    for (i=m;i<n;i++)                
    {
        for (j=m;j<n;j++)            //i列元素与m列元素进行交换  下文求全排列的程序也有类似的代码
        {
            temp=p[j][m];            
            p[j][m]=p[j][i];
            p[j][i]=temp;
        }
        if (i!=m) flag=-1;            //确定符号  我在这里卡了一段时间
        else flag=1;
        result+=flag*p[m][m]*hanglieshi(p,m+1,n);    //递归实现
        for (j=m;j<n;j++)            //再将i列元素与m列元素换回来
        {
            temp=p[j][m];
            p[j][m]=p[j][i];
            p[j][i]=temp;
        }
    }
    return result;
}

int main()
{
    int n,i,j;
    printf("请输入行列式的阶数（最好是12阶以内，要不然运行时间会很长）：");
    scanf("%d",&n);
    int **p=(int **)malloc(sizeof (int *)*n);     //申请一个n*n二维数组
    for (i=0;i<n;i++)
    {
        p[i]=(int *)malloc(sizeof(int )*n);
    }                                             //二维数组申请完毕
    printf("请输入行列式\n");
    for (i=0;i<n;i++)                             //向二维数组中赋值
    {
        for (j=0;j<n;j++)
        {
           // scanf("%d",&p[i][j]);
              p[i][j]=rand()%100;                 //可以自己输入，也可以用随机函数
        }
    }
printf("******************************\n");
show(p,n);
printf("行列式的值为%d",hanglieshi(p,0,n));
    for (i=0;i<n;i++)                            //释放内存
        free(p[i]);
    free(p);
}

程序思路：将第m行展开

我觉得求n阶行列式这个问题和全排列这个问题，基本差不多，都是通过递归调用来实现的，下文附上全排列问题的代码。

#include <stdio.h>
void exchange(int *m,int *n)            //实现两个数字的交换
{
    int temp;
    temp=*m;
    *m=*n;
    *n=temp;
}

void quanpai(int n,int m,int *p)        //核心函数，n代表总的元素个数，m代表实现后m个元素的全排列
{
    int i;
    if (m==1){                          //递归的出口，将这个数列全部打印出来
        for(i=0;i<n;i++)
            printf("%5d",p[i]);
        printf("\n");
    }
    else {
        for (i=n-m;i<n;i++){              //核心代码，具体解释见下文
            exchange(&p[i],&p[n-m]);
            quanpai(n,m-1,p);
            exchange(&p[i],&p[n-m]);
        }
    }
}

void main()
{
    int p[3]={1,2,3};
    quanpai(3,3,p);
}

我还没学算法，所以，对于时间复杂度或者是空间复杂度的分析还不懂，不过都是递归算法，效率都会比较低。
对于上文所说的全排列的核心代码，我来解释一下。
首先，我觉得要实现递归，最先要解决问题就是寻找Question（n）与Question（n-1）之间的关系。对于实现后面m个元素全排列这个问题，我们需要先确定一个元素，定为p[n-m]，然后实现后面m-1个元素的全排列，然后再将p[n-m]与后面的元素依次进行交换，每次交换后，都调用一下函数，实现后面m-1个元素的全排列，然后换回来，保证每次调用函数时数组不变。当m==n时，即为实现整个数组的全排列，这样就实现问题的求解。

能力有限，中间可能还有一些没有说明白的地方，希望大家可以理解。

附图：