【计算理论基础】

最新推荐文章于 2023-12-19 16:58:02 发布

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这篇博客详细介绍了计算理论的基础概念，包括正则语言、上下文无关语言、图灵机及其可判定和可识别语言。此外，还深入探讨了这些语言类在不同运算下的封闭性证明，如正则语言在并、连接、星号运算下的封闭。同时，文章讨论了可判定性、可识别性以及NP完全问题的证明，并阐述了复杂度的包含关系，如TIME、NTIME、SPACE和NSPACE等复杂度类的关系。

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1. 语言类的定义

1.1 正则语言

定义：
如果一个语言可以被一台有穷自动机识别，则称它是正则语言。
有穷自动机是一个五元组 $Q,Σ,δ,q_0,F)$ ，其中：

$Q$ 是一个有穷集合，称为状态集。
$Σ$ 是一个有穷集合，称为字母集。
$δ : Q \times Σ \to Q$ 是转移函数。
$q_0∈Q$ 是起始状态。
$F \subseteq Q$ 是接受状态集。

举例： $L (M) =$ { $w ∣ w$ 是空串或以0结束}

1.2 上下文无关语言

定义：
与上下文无关文法相关的语言或者被下推自动机PDA识别的语言称为上下文无关语言。
上下文无关文法是一个四元组 $(V, Σ, R, S)$ ，其中：

$V$ 是一个有穷集合，称为变元集。
$Σ$ 是一个与 $V$ 不相交的有穷集合，称为终结符集。
$R$ 是一个有穷规则集，每条规则由一个变元和一个由变元及终结符组成的字符串构成。
$S$ 是起始变元。

举例：{ $0^n1^n | n ≥ 0$ }

1.3 图灵机

定义：
一台图灵机是一个七元组，{ $Q, Σ,$ ? , $δ , q_0 , q_{accept} , q_{reject}$ }，其中： $Q, Σ,$ ? 都是有限集合，且满足：

$Q$ 是状态集合。
$Σ$ 是输入字母表，其中不包含特殊的空白符☐。
? 是带字母表，其中☐∈? 且Σ ∈? 。
$δ$ ： $Q \times$ ? $\to Q \times$ ? $\times$ {L,R}是转移函数，其中{L,R}表示读写头是向左移还是向右移。
$q_o∈Q$ 是起始状态。
$q_{accept}$ 是接受状态。
$q_{reject}$ 是拒绝状态。 $q_{accept} ≠ q_{reject}$

1.4 图灵可判定语言

定义：
如果一个语言能被某一图灵机判定，则称该语言是图灵可判定的。
举例： $A_{CFG} =$ { $< G, w > ∣ G 是 C F G, w 是串， G 派生 w$ }

1.5 图灵可识别语言

定义：
如果一个语言能被某一图灵机识别，则称该语言是图灵可识别的。
举例： $A_{TM}$

1.6 非图灵可识别语言

定义：
如果一个语言不能被任何图灵机识别，则称该语言是图灵不可识别的。
举例： $A_{TM}$

2. 封闭性证明

2.1 证明正则语言类在并、连接、星号运算下封闭

并运算
构造两个有穷自动机 $N_1N_2$ ，分别识别两个正则语言，构造第三个有穷自动机 $N$ 识别它们俩的并。其中：
$N$ 的起始状态是新的。
$N$ 的状态集是它们俩状态集的并再加上 $N$ 的起始状态。
$N$ 的接受状态集是它们俩的接受状态集合的并。
只要其中一个有穷自动机接受则接受。
连接运算
构造两个有穷自动机 $N_1N_2$ ，分别识别两个正则语言，构造第三个有穷自动机 $N$ 识别它们俩的连接。其中：
$N$ 的状态集是 $N_1N_2$ 的状态集的并。
$N$ 的起始状态是 $N_1$ 的起始状态， $N$ 的接受状态集是 $N_2$ 的接受状态集。
星号
构造一个识别正则语言 $A_1$ 的有穷自动机 $N_1$