1071. 字符串的最大公因子

题目描述：

对于字符串 S 和 T，只有在 S = T + ... + T(T 与自身连接 1 次或多次)时，我们才认定 “T 能除尽 S”。

返回最长字符串 X，要求满足 X 能除尽 str1 且 X 能除尽 str2。

示例 1：

输入：str1 = "ABCABC", str2 = "ABC"
输出："ABC"

示例 2：

输入：str1 = "ABABAB", str2 = "ABAB"
输出："AB"

示例 3：

输入：str1 = "LEET", str2 = "CODE"
输出：""

提示：

1. 1 <= str1.length <= 1000
2. 1 <= str2.length <= 1000
3. str1[i] 和 str2[i] 为大写英文字母

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解题思路 1: 枚举

由于题目要求最长的符合要求的字符串 X，所以可以按长度从大到小枚举前缀串，这样碰到第一个满足条件的前缀串返回即可。

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代码1：

class Solution(object):
    def gcdOfStrings(self, str1, str2):
        for i in range(min(len(str1), len(str2)), 0, -1):
            if (len(str1) % i) == 0 and (len(str2) % i) == 0:
                if str1[: i] * (len(str1) // i) == str1 and str1[: i] * (len(str2) // i) == str2:
                    return str1[: i]
        return ''

s = Solution()
str1 = "ABABAB"
str2 = "ABAB"
print(s.gcdOfStrings(str1, str2))

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解题思路2:

注意到一个性质：如果存在一个符合要求的字符串 $X$，那么也一定存在一个符合要求的字符串 $X^{\prime }$，它的长度为 str1 和 str2 长度的最大公约数。

由上述性质我们可以先用辗转相除法求得两个字符串长度的最大公约数 $gcd({\text{len}}_1,{\text{len}}_2)$，取出该长度的前缀串，判断一下它是否能经过若干次拼接得到 str1 和 str2 即可。

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代码2：

import math
class Solution(object):
    def gcdOfStrings(self, str1, str2):
        candidate_len = math.gcd(len(str1), len(str2))
        candidate = str1[: candidate_len]
        if candidate * (len(str1) // candidate_len) == str1 and candidate * (len(str2) // candidate_len) == str2:
            return candidate
        return ''


s = Solution()
str1 = "ABABAB"
str2 = "ABAB"
print(s.gcdOfStrings(str1, str2))

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解题思路3:

需要知道一个性质：如果 str1 和 str2 拼接后等于 str2和 str1 拼接起来的字符串（注意拼接顺序不同），那么一定存在符合条件的字符串 X。

先证必要性，即如果存在符合条件的字符串 X ，则 str1 和 str2 拼接后等于 str2和 str1 拼接起来的字符串。

如果字符串 X 符合条件，那么 str1=X+X+...+X+X=n*X ，str2=X+X+..+X+X=m*X，n*X 表示 n 个字符串 X 拼接，m*X 同理，则 str1 与 str2 拼接后的字符串即为 (n+m)*X，而 str2 与 str1 拼接后的字符串即为 (m+n)*X，等于 (n+m)*X，所以必要性得证。

再看充分性，简单来说，我们可以如下图一样先将两个拼接后的字符串放在一起。不失一般性，我们假定 str1 的长度大于 str2，

有了该性质以及方法二的性质，我们就可以先判断 str1 和 str2 拼接后是否等于 str2 和 str1 拼接起来的字符串，如果等于直接输出长度为 $gcd({\text{len}}_1,{\text{len}}_2)$ 的前缀串即可，否则返回空串。

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代码3：

import math
class Solution(object):
    def gcdOfStrings(self, str1, str2):
        candidate_len = math.gcd(len(str1), len(str2))
        candidate = str1[: candidate_len]
        if str1 + str2 == str2 + str1:
            return candidate
        return ''

s = Solution()
str1 = "ABABAB"
str2 = "ABAB"
print(s.gcdOfStrings(str1, str2))

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参考链接:

字符串的最大公因子

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题目来源：

1071. 字符串的最大公因子