Ant Counting多重集组合数

Ant Counting

题目描述： 有一天，贝茜无聊地坐在蚂蚁洞前看蚂蚁们进进出出地搬运食物．很快贝茜发现有些蚂蚁长得几乎一模一样，于是她认为那些蚂蚁是兄弟，也就是说它们是同一个家族里的成员．她也发现整个蚂蚁群里有时只有一只出来觅食，有时是几只，有时干脆整个蚁群一起出来．这样一来，蚂蚁们出行觅食时的组队方案就有很多种．作为一头有数学头脑的奶牛，贝茜注意到整个蚂蚁群由T(1≤T≤1000)个家族组成，她将这些家族按1到T依次编号．编号为i的家族里有Ni(1≤Ni≤100)只蚂蚁．同一个家族里的蚂蚁可以认为是完全相同的．
如果一共有S，S+1…．，B(1≤S≤B≤A)只蚂蚁一起出去觅食，它们一共能组成多少种不同的队伍呢？注意：只要两支队伍中所包含某个家族的蚂蚁数不同，我们就认为这两支队伍不同．由于贝茜无法分辨出同一家族的蚂蚁，所以当两支队伍中所包含的所有家族的蚂蚁数都相同时，即使有某个家族换了几只蚂蚁出来，贝茜也会因为看不出不同而把它们认为是同一支队伍．
3 sets with 1 ant: {1} {2} {3}
5 sets with 2 ants: {1,1} {1,2} {1,3} {2,2} {2,3}
5 sets with 3 ants: {1,1,2} {1,1,3} {1,2,2} {1,2,3} {2,2,3}
3 sets with 4 ants: {1,2,2,3} {1,1,2,2} {1,1,2,3}
1 set with 5 ants: {1,1,2,2,3}
*第1行：可以创建的大小为S…B（包括）的集合数。 像{1,2}这样的集合与集合{2,1}相同，不应重复计算。 仅打印此数字的最后六位数，不带前导零或空格。

思路分析：
我们先分析核心代码的来处：
f[i][j]=从前i种物品中选取j个物品的组合总数。
为了从前i种物品中选取j个,我们可以先从前i-1种物品中选取j-k个,然后在从第i个物品中补上剩下的k个
所以可以得到以下递推关系:
当j>a[i]时（j-1-a[i]>=0）:
f[i][j]=f[i−1][j]+f[i−1][j−1]+…+f[i−1][j−ai]f[i][j]=f[i−1][j]+f[i−1][j−1]+…+f[i−1][j−ai] ,;
我们求 f[i][j] 的时候可以使用 f[i][j−1] 计算过的值，避免重复枚举 k.
f[i][j−1]=f[i−1][j−1]+…+f[i−1][j−ai−1];
根据上个式子我们可以得到：
f[i][j]=f[i][j−1]+f[i−1][j]−f[i−1][j−ai−1]；

那么我们该怎么理解上述的式子呢？
1.不选选第i种：f[i-1][j]；就是在前i-1种里面选择j个；
2.选择第i种 ：f[i][j-1]-f[i-1][j-a[i]-1];
我们可以这样理解选择的情况:f[i][j-1]我们可以认为是选择了第i种1个，至于后面我们还选不选第i种我们先不管。f[i][j-1]是在前i种选择j-1个可组成的种数，那么它包含了选a[i]个第i种的情况，即f[i-1][j-a[i]-1]，但是f[i][j]最多也就是拿x[i]项，所以要在这里减去f[i-1][j-a[i]-1];

当j<=a[i]时：

f[i][j]=f[i−1][j]+f[i−1][j−1]+…+f[i−1][0];
f[i][j-1] = f[i−1][j−1]+…+f[i−1][0];
由上面的两个式子可知：
f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-1];
此处分析和上面的差不多，只是不可能存在第i种都取的情况；

#include<cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define Maxn 1000
#define Maxm 100
#define Mod 1000000
int num[Maxn + 5], f[Maxn + 5][Maxn * Maxm + 5];

int main() {
    int t, a, s, b, ans = 0;
    scanf("%d %d %d %d", &t, &a, &s, &b);
    for (int i = 1; i <= a; i++) {          //存储每种的数量
        int x;
        scanf("%d", &x);
        num[x]++;
    }
    for (int i = 0; i <= t; i++)
        f[i][0] = 1;   //取0都会是一种
    for (int i = 1; i <= a; i++) {
        for (int j = 1; j <= t; j++) {
            if (j - 1 - num[i] >= 0)
                f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i-1][j - 1 - num[i]] + Mod) % Mod;
            else
                f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - 1])%Mod;
        }
    }
    for (int i = s; i <= b; i++){
        ans += f[t][i];
        ans%=Mod;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}