牛客-字典序解题报告【树】

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#字典序 #解题报告 #树

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本文介绍了一种高效算法，用于解决字典序排列中求第M个数的问题，通过构建10叉树并利用先序遍历策略，避免了全量遍历，实现了对大规模数据的有效处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

牛客-字典序解题报告【树】

题目描述

  牛客OJ链接：字典序
  给定整数n和m, 将1到n的这n个整数按字典序排列之后, 求其中的第m个数。
  对于n=11, m=4, 按字典序排列依次为1, 10, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 因此第4个数是2.
  对于n=200, m=25, 按字典序排列依次为1 10 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 11 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 12 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 13 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 14 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 15 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 16 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 17 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 18 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 19 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 2 20 200 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 7 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 因此第25个数是120…

输入描述:

输入仅包含两个整数n和m。

数据范围:
对于20%的数据, 1 <= m <= n <= 5 ;
对于80%的数据, 1 <= m <= n <= 10^7 ;
对于100%的数据, 1 <= m <= n <= 10^18.

输出描述:

输出仅包括一行, 即所求排列中的第m个数字。

示例

输入
11 4
输出
2

思路

一开始看到上述数组序列，似乎给不出对应的通式表达。由于题目是字典序，联想到字典树表示，如图1所示，由于数字字母从0到9，所以就是一个10叉树。这道题结点的索引值与结点所存的值相同，所以可以不用花空间建树，直接用索引值代替：比如根节点为 $r o o t$ ，则其第一个孩子为 $10\cdot root$ ，第二孩子为 $10\cdot root+1$ ，……，第十个孩子为 $10\cdot root+9$ 。

图1 10叉树

先序遍历

  要取得字典序的第M个数，则先序遍历到第M个数则停止遍历。
  但是N的值可能是 $10^{18}$ 级别的，直接先序遍历会超时。
  先序遍历是先根，再第一个子树，再第二个子树，……，再最后一个子树。要遍历M个结点，如果知道一个子树的节点数小于M，则可以不遍历这个子树，直接从下个子树开始。每次要计算一根树的总结点个数，时间复杂度为树的高度 $O(log_{10}N)$ ，但能跳过的结点个数是 $10^h$ 指数级别的。

#include <stdio.h>

typedef long long int LL;

LL N = 0, M = 0;

LL GetNumberOfNode(LL root)
{
	LL num = 0, dep = 1;

	while (root <= N)
	{
		if (root + dep - 1 <= N)
		{
			num += dep;
			dep *= 10;
			root *= 10;
		}
		else
		{
			num += N - root + 1;
			break;
		}
	}

	return num;
}

LL NUM = 0;
void DFS(LL root)
{
	LL numofnode;
	for (int i = 0; i < 10 && M > 0; i++)
	{
		numofnode = GetNumberOfNode(root + i);
		if (M > numofnode)
		{
			M -= numofnode;
			continue;
		}

		M--;
		if (M == 0)
		{
			NUM = root + i;
			return;
		}

		DFS(10*(root+i));
	}
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld", &N, &M);

	LL numofnode;
	for (int i = 1; i < 10 && M > 0; i++)
	{
		numofnode = GetNumberOfNode(i);
		if (M > numofnode)
		{
			M -= numofnode;
			continue;
		}

		M--;
		if (M == 0)
		{
			NUM = i;
			break;
		}

		DFS(10*i);
	}

	printf("%lld\n", NUM);

	return 0;
}