Difference between Triplets POJ - 3244

题意

对于每一个三元组：$T_a=(I_a,J_a,K_a),T_b=(I_b,J_b,K_b)$定义：
D ( T a , T b ) = max ⁡ { I a − I b , J a − J b , K a − K b } − min ⁡ { I a − I b , J a − J b , K a − K b } D(T_a,T_b)=\max\{I_a-I_b,J_a-J_b,K_a-K_b\}-\min\{I_a-I_b,J_a-J_b,K_a-K_b \} D(Ta​,Tb​)=max{Ia​−Ib​,Ja​−Jb​,Ka​−Kb​}−min{Ia​−Ib​,Ja​−Jb​,Ka​−Kb​}
求 ${\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=i+1}^{N}D(T_i,T_j)$ 的值。
数据范围：$N\le 2\times 10^5$，每个元素的范围：$[-10^6,10^6]$

分析

关键在于公式的化简：
$$\max (a,b,c)-\min (a,b,c)=\frac{|a-b|+|a-c|+|b-c|}{2}$$
代入三元组，可得：
$$D(T_a,T_b)=\frac{|(I_a-J_a)-(I_b-J_b)|+|(J_a-K_a)-(J_b-K_b)|+|(I_a-K_a)-(I_b-K_b)|}{2}$$
现在，我们要想办法去掉绝对值。对每个 $T_i$，求出 $(I_i-J_i),(I_i-K_i),(J_i-K_i)$，然后分别从小到大排序。对于 $(I_i-J_i)$，假设它出现在排列后的第 $x$ 个位置，那么他对最后的答案会有 $x-1$ 个正的贡献，$n-x$ 个负的贡献，最终的贡献为 $2x-n-1$。对其它两个同样处理，即可得到结果。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int a[N],b[N],c[N];
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n),n!=0){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            a[i]=x-y;
            b[i]=x-z;
            c[i]=y-z;
        }
        sort(a+1,a+1+n);
        sort(b+1,b+1+n);
        sort(c+1,c+1+n);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ans+=1LL*(2*i-n-1)*a[i];
            ans+=1LL*(2*i-n-1)*b[i];
            ans+=1LL*(2*i-n-1)*c[i];
        }
        printf("%lld\n",ans/2);
    }
    return 0;
}