运动稳定性的基本概念

最新推荐文章于 2024-04-04 14:33:07 发布

原创最新推荐文章于 2024-04-04 14:33:07 发布 · 2.4k 阅读

5 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#李雅普诺夫稳定性 #拉塞尔不变原理

系统专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

$\qquad$ 稳定性的研究对象是系统的运动，是系统运动受到扰动后的一种重要性质。系统的运动可以通过一组向量的变化来完全充分的表现出来，这组向量成为系统的状态向量，记为 $x1,x2,⋯ ,xnx_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ ，状态变量的向量形式 $x=[x1,x2,⋯ ,xn]Tx=[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}]^{T}$ 为状态向量。
$\qquad$ 系统的运动方程常表示为一阶微分方程组形式：
$\dot{x}_{i}=f_{i}(t,x_{1},\cdots,x_{n}),\quad i=1,\cdots,n$ 其中， $x1,x2,⋯ ,xnx_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 是 $t$ 的未知函数， $f1,⋯ ,fnf_{1},\cdots,f_{n}$ 是 $t,x1,x2,⋯ ,xnt,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的已知函数。化简为向量形式，即
$\dot{x}=f(t,x)\qquad (1)$ 其中 $t∈R,x=(x1,⋯ ,xn)T∈Rnt\in \boldsymbol{R},x=(x_{1},\cdots,x_{n})^{T}\in \boldsymbol{R}^{n}$ (n维实欧式空间)， $f=(f1,⋯ ,fn)∈Rnf=(f_{1},\cdots,f_{n})\in \boldsymbol{R}^{n}$ ，即 $\Omega\subseteq \boldsymbol{R}^{n+1}\to \boldsymbol{R}^{n}$
$\qquad$ 假设 $x=φ(t)x=\varphi(t)$ 是定义在时间开区间 $I=(a,b)⊂RI=(a,b)\subset\boldsymbol{R}$ 上的可微函数( $I$ 可以是有限区间或者无限区间)，对于一切 $t∈It\in I$ ，有 $(t,φ(t))∈Ω⊆R(t,\varphi(t))\in\Omega\subseteq\boldsymbol{R}$ ，并满足：
$\dot{\varphi}(t)=f(t,\varphi(t))$ $\qquad$ 成立，称 $φ(t)\varphi(t)$ 为 $I$ 的一个解。解 $x=φ(t)x=\varphi(t)$ 在 $(t, x)$ -空间的几何图形的一条曲线称为式(1)的积分曲线或系统的轨线。
$\qquad$ 运动的稳定性通常指平衡状态是稳定的，刚体处于静止的平衡状态，受到小的扰动力的作用偏离了平衡位置，仍能回到原来的位置或原来位置的附近，反之为不稳定。考察微分方程组：
$\dot{x}=f(t,x)\\ x(t_{0})=x_{0} \qquad(2)$ 其中，时间 $t$ 属于开区间 $=(t_{1},t_{2})(t_{1}\ge-\infty;t_{2}\leq+\infty);$ 状态向量 $x∈Ω⊂Rn;f:I×Ω∈Rn+1→Rn;f(t,x)x\in\Omega\subset\boldsymbol{R}^{n};f:I\times\Omega\in\boldsymbol{R}^{n+1}\to\boldsymbol{R}^{n};f(t,x)$ 是连续的向量函数。
微分方程解存在的唯一性 （利普西茨条件）若 $∀x,y∈Ω,∀t∈I,∃\forall x,y\in\Omega,\forall t\in I,\exists$ 常数 $L > 0$ 使得
$||f(t,x)-f(t,y)||\leq L||x-y||$ $\qquad$ 则称 $f$ 在 $I×ΩI\times\Omega$ 上满足利普西茨条件(简称利氏条件)称 $L$ 为 $f$ 在 $Ω\Omega$ 上的利氏常数。显然，如果 $f_{i}(t,x)$ 的所有偏导数都存在，且雅可比矩阵 $∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}$ 在 $I×ΩI\times\Omega$ 上有界，即
$\begin{Vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \end{Vmatrix}\leq K$ 其中， $K$ 为某一正数，则满足利氏条件。
$\qquad$ 解的存在唯一性定理 若 $f(t,x)=[f1(t,x),⋯ ,fn(t,x)]Tf(t,x)=[f_{1}(t,x),\cdots,f_{n}(t,x)]^{T}$ 在 $I×ΩI\times\Omega$ 上连续，且满足利氏条件，则 $∀(t0,x0)∈I×Ω\forall(t_{0},x_{0})\in I\times\Omega$ ，存在常数 $t^{*}>0$ ，使得区间 $t_{0}-t^{*},t_{0}+t^{*}]$ 内存在唯一解 $x(t,t_{0},x_{0})$ 满足
$\frac{d(t,t_{0},x_{0})}{dt}=f(t,x(t,t_{0},x_{0}))\\ x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ 的解是唯一存在的。
解对初值与参数的连续依赖性与可微性 假设解的存在唯一性定理成立，有如下结论：
$\qquad$ (1) 若式(2)两个解 $x(1)(t)=x(t,t0,x0(1)),x(2)(t)=x(t,t0,x0(2))x^{(1)}(t)=x(t,t_{0},x^{(1)}_{0}),x^{(2)}(t)=x(t,t_{0},x^{(2)}_{0})$ 在 $t_{0},t_{1}]$ 上均有定义，均位于 $Ω\Omega$ 内，则 $∀ϵ>0,∃δ>0\forall\epsilon>0,\exists\delta>0$ ，当 $∣∣x0(1)−x0(2)∣∣<δ||x_{0}^{(1)}-x_{0}^{(2)}||<\delta$ 在 $t_{0},t_{1}]$ 内有 $∣∣x(1)(t)−x(2)(t)∣∣<ϵ||x^{(1)}(t)-x^{(2)}(t)||<\epsilon$ 成立。
$\qquad$ (2) 若 $∂fi∂xj(i,j=1,2,⋯ ,n)\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(i,j=1,2,\cdots,n)$ 连续，则 $∂xi(t,t0,x0)∂xj0(i,j=1,2,⋯ ,n)\frac{\partial x_{i}(t,t_{0},x_{0})}{\partial x_{j0}}(i,j=1,2,\cdots,n)$ 也连续。
李雅普诺夫稳定性的定义
$\qquad$ 一个系统的轨迹有可能只是一个单一的点。如果系统的初始值取在这个点上，系统状态将保持在这个点上，则称该点为平衡点。如果系统初值选取为某个状态 $x_{e}$ ，系统轨线 $x (t)$ 将在未来时间内一直保持在 $x_{e}$ ，则称为系统的一个平衡状态(或平衡点)。
$\qquad$ 李雅普诺夫稳定性 设原点为系统的平衡点则称系统的零平衡点是李雅普诺夫稳定的。如果对于任意的 $ϵ>0\epsilon>0$ ，都存在 $δ(ϵ,t0)>0\delta(\epsilon,t_{0})>0$ ，使得只要初始值 $x_{0}$ 选取在球域 $∣∣x0∣∣≤δ(ϵ,t0)||x_{0}||\leq\delta(\epsilon,t_{0})$ 内，已 $x_{0}$ 为初值的解对于整个时间域 $t0<t<∞t_{0}<t<\infty$ 都在以原点为球心以 $ϵ\epsilon$ 为半径的球域内(不稳定即在球域外)，即
$||x(t,t_{0},x_{0})||\leq\epsilon,\qquad t\ge t_{0}$ $\qquad$ 吸引性 如果存在 $δ(t0)>0\delta(t_{0})>0$ ，当 $∣∣x0∣∣≤δ(t0)||x_{0}||\leq\delta(t_{0})$ 时，有 $limt→∞x(t,t0,x0)=0\mathop{lim}\limits_{t\to\infty}x(t,t_{0},x_{0})=0$ $\qquad$ 则称系统 $x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)$ 的零平衡点是吸引的。即当初始状态选定在以零点为球心的某一个球域内时，系统的运动终将趋近于零点。描述系统运动趋近平衡点的程度与什么相关(趋近平衡点的速度受什么影响)。 $∃δ(t0)>0\exists\delta(t_{0})>0$ ，当 $∣∣x0∣∣≥δ(t0)||x_{0}||\ge\delta(t_{0})$ 时， $∀ϵ>0,∃T(ϵ,t0,x0)\forall\epsilon>0,\exists T(\epsilon,t_{0},x_{0})$ ，对于 $∀t≥t0+T(ϵ,t0,x0)\forall t\ge t_{0}+T(\epsilon,t_{0},x_{0})$ ，有 $∣∣x(t,t0,x0)∣∣<ϵ||x(t,t_{0},x_{0})||<\epsilon$ 。
$\qquad$ 一致吸引 若吸引型定义中 $T$ 仅依赖 $ϵ\epsilon$ ，而不依赖 $t_{0},x_{0}$ ，则称原点是一致吸引的，即 $x (t)$ 趋向于零平衡点的速度仅与 $ϵ\epsilon$ 有关，而与 $t_{0},x_{0}$ 无关，即 $∀ϵ>0,∃T(ϵ)\forall\epsilon>0,\exists T(\epsilon)$ ，对于 $∀t≥t0+T(ϵ)\forall t\ge t_{0}+T(\epsilon)$ ，有 $∣∣x(t,t0,x0)∣∣<ϵ||x(t,t_{0},x_{0})||<\epsilon$ 。若 $δ(t0)\delta(t_{0})$ 可任意大，则吸引和一致吸引分别为全局吸引和全局一致吸引。
$\qquad$ 渐近稳定和全局渐近稳定 如果：(1)零平衡点为稳定的(2)零平衡点分别为吸引、全局吸引，则分别称系统的解对零平衡点为渐近稳定和全局渐近稳定。一致渐近稳定如果(1)零平衡点为一致稳定(2)零平衡点是一致吸引，则称系统的解对于零平衡点为一致渐近稳定。全局一致渐近稳定如果(1)零平衡点为一致渐近稳定点。(2)零平衡点是全局一致吸引的。(3)方程所有的解是一致有界的，即 $∀r>0,∃B(r)>0\forall r>0,\exists B(r)>0$ ，当 $∣∣x(t0)∣∣≤r||x(t_{0})||\leq r$ 时，则对于所有的 $t≥t0t\ge t_{0}$ ，有 $∣∣x(t,t0,x0)∣∣≤B(r)||x(t,t_{0},x_{0})||\leq B(r)$ 。
$\qquad$ 拉塞尔不变定理 设 $Ω\Omega$ 为紧集，从 $Ω\Omega$ 出发的方程 $x˙=f(x)\dot{x}=f(x)$ 的解对于 $t > 0$ 均停留在 $Ω\Omega$ 内，如果存在函数 $V:Ω→RV:\Omega\to\boldsymbol{R}$ 是连续可微的，在 $Ω\Omega$ 中 $V˙≤0\dot{V}\leq 0$ ，又设 $E={x∣V˙(x)=0,x∈Ω},M⊂EE=\{x|\dot{V}(x)=0,x\in\Omega\},M\subset E$ 为 $E$ 的最大不变集，则对于 $∀x0∈Ω\forall x_{0}\in\Omega$ ，当 $t→∞t\to\infty$ 时，有 $x(t,x0)→Mx(t,x_{0})\to M$ 。
$\qquad$ 当 $V˙≤0\dot{V}\leq 0$ ，而且对于 $V˙(x)=0\dot{V}(x)=0$ ，除原点没有任何系统轨线能永远保留在集合 ${x∣V˙(x)=0}\{x|\dot{V}(x)=0\}$ 中，则 $x = 0$ 是渐近稳定的。利用拉萨尔定理考察原点的渐进稳定性，要指出 $E$ 中的最大不变集是原点。假设 $V (x)$ 是正定的，可以得到 $B a r b a s h i n - K r a s o v s k i i$ 定理。
$\qquad$ $B a r b a s h i n - K r a s o v s k i i$ 定理设 $x = 0$ 为 $x˙=f(x)\dot{x}=f(x)$ 的平衡点， $V:Ω→RV:\Omega\to\boldsymbol{R}$ 是连续的正定函数，其中， $Ω\Omega$ 为原点的邻域，在 $Ω\Omega$ 中， $V˙≤0\dot{V}\leq 0$ ，令 $M={x∈Ω∣V˙(x)=0}M=\{x\in\Omega|\dot{V}(x)=0\}$ ，假设 $M$ 中不包含非零解，则原点是渐进稳定的。如果 $V (x)$ 还具有径向无界的性质，则 $x = 0$ 是全局渐进稳定的。