线段树汇总 之 基础用法（不包含懒标记）

线段树之基础用法（不包含懒标记）

参考自：神牛notonlysuccess和https://blog.youkuaiyun.com/metalseed/article/details/8039326
但因原文中发现了很多错误，于是我就稍微修改了一下。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造

void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define _for(i, a) for(int i = 0; i < (a); i++)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define maxn 6
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int arr[maxn] = { 1, 5, 3, 7, 5, 8 }, SegTree[maxn * 4];
void build(int node, int begin, int end) {
	if (begin == end) {
		SegTree[node] = arr[begin];
	}
	else {
		int mid = (begin + end) / 2;
		build(2 * node, begin, mid);
		build(2 * node + 1, mid + 1, end);
		SegTree[node] = min(SegTree[2 * node], SegTree[2 * node + 1]);
	}
}//从数组建立线段树
int main() {
	build(1, 0, maxn - 1);
	_for(i, maxn * 4 + 1) {
		cout << "seg " << i << "= " << SegTree[i] << "\n\n";
	}
	return 0;
}

建立的线段树：
                                         node 1: 0~5
                                          value: 1
                                   /                      \
                                  /                        \
                           node 2: 0~2                  node 3: 3~5
                            value: 1                     value: 3
                          /         \                   /       \
                         /           \                 /          \
                   node 4: 0~1       node 5: 2   node 6: 3~4      node 7: 5
                    value: 1         value: 3    value: 5         value: 3
                  /           \                      /           \      
                 /              \                   /             \       
           node 8: 0          node 9: 1        node 10: 3        node 11: 4
           value: 1           value: 5         value: 7            value: 5

(2)：区间查询

int query(int node, int begin, int end, int left, int right)

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

int query(int node, int begin, int end, int left, int right) {
	if (left > end || right < begin) return inf;
	if (left <= begin && right >= end) return SegTree[node];
	int mid = (begin + end) / 2;
	return min(query(2 * node, begin, mid, left, right), query(2 * node + 1, mid + 1, end, left, right));
}

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

• 单节点更新

void updata(int node, int begin, int end, int ind, int add) {
	if (begin == end) {
		SegTree[node] += add;
		return;
	}
	int m = (begin + end) / 2;
	if (ind <= m) updata(node * 2, begin, m, ind, add);
	else updata(node * 2 + 1, m + 1, end, ind, add);
	SegTree[node] = min(SegTree[node * 2], SegTree[node * 2 + 1]);
}

• 区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/
{
  if (a <= p->Left && p->Right <= b)
  /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/
  {
     ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/
     return;
  }
  Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/
  int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点
  if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/
  if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/
  Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/
}

关于线段树的基础用法暂时就先写到这里，剩下的写在下一篇文章中