2019 Multi-University Training Contest 6

最新推荐文章于 2020-08-09 14:57:24 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-09 14:57:24 发布 · 170 阅读

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本文深入探讨了五道编程竞赛题目，包括最长上升子序列、资源分配、目标定位、互素数查找及小根堆博弈策略，提供了详细的解题思路与算法实现，适合竞赛编程爱好者学习。

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原来我不仅不会的题多，会写的也写得慢…

1002 Nonsense Time

题意

给出一个 $n(n≤5×104)n(n\le 5\times 10^4)$ 的排列，一开始所有数字是不可用的，第 $i$ 个时刻解锁 $p_i$ 位置上面的数字，输出 $n$ 个数字，表示在第 $i$ 个时刻，所有已解锁的数字的最长上升子序列长度。
重点：数据保证是随机生成的

题解

数据是随机的，那么一个排列期望的LIS长度在 $O(n)O(\sqrt n)$ 级别的，这个结论是我暴力跑出来的。
倒着做，先求出整个排列的LIS，并记录下其中一种LIS的方案，然后按时间去掉点，这个点正好在LIS上的概率是 $1n\frac{1}{\sqrt n}$ 的，那么此时就对当前数列重新跑一边LIS，否则答案不变。
这里我的LIS求方案挂了很多次，用了一些Naive的方法，这里写一下正确的弄法：
每次加入一个点，都记录它是从哪转移过来的，最后从 $D P [l e n]$ 搜索方案。
要去掉 $n$ 个点，期望重做LIS $n\sqrt n$ 次，一次LIS是 $O (n l o g n)$ 的，那么期望总复杂度就是 $logn)O(n\sqrt n\ logn)$ 。

1004 Speed Dog

题意

这标题是提速狗？
给出 $n(n≤250000)n(n\le 250000)$ 对 $bi(1≤ai,bi≤1000)a_i,\ b_i(1\le a_i, b_i\le 1000)$ ，每一对 $a_i,\ b_i$ 都可以自行选择一个 $0≤xi≤10\le x_i\le 1$ 。
$\sum_{i=1}^n a_i\times x_i,\ B= \sum_{i=1}^n a_i\times (1-x_i)$ 。
输出 $n$ 个分数，表示当 $n = i$ 时，能使 $m a x (A, B)$ 的最小值。

题解

先说jls的做法吧，贪心，将 $aibi\frac{a_i}{b_i}$ 排个序，小的全给A，大的全给B，只留中间一个，按照最优策略分配。
那么可以维护一个大根堆，表示A选好的，一个小根堆，表示B选好的。
每次加入一个物品，先简单地把它加入其中一个堆，之后再通过调整恢复到一开始的最优策略。
$a_i,\ bi$ 都很小，调整次数可以认为很少，所以复杂度能够接受。

1005 Snowy Smile

题意

队友写得，看都没看

1006 Faraway

题意

有 $n(n≤10)n(n\le 10)$ 个士兵，给出边界 $(m≤109)m\ (m\le10^9)$ ,他们有一个共同的目标点 $ye≤m≤109)(x_e,\ y_e)\ (0\le x_e,\ y_e\le m\le10^9)$ 。
告诉你每个人的坐标 $ye≤m)x_i,\ y_i\ (0\le x_e,\ y_e\le m)$ ，以及一个 $ki(2≤ki≤5)k_i(2\le k_i\le5)$ 和一个 $ti(0≤ti<ki)t_i(0\le t_i<k_i)$ ，表示这个士兵到目标点的
曼哈顿距离 $mod\ k_i= t_i$ 。
求有多少个点是可能的目标点。

题解

每个士兵作为一个坐标原点建立直角坐标系，那么当目标点处于它的四个象限时，计算曼哈顿距离的式子是不同的。
那么这 $n$ 个点可以将平面划分为 $n^2$ 块矩形区域，可以确定每个区域内的点对这 $n$ 个点计算曼哈顿距离的式子，那么每个士兵都可以确定一个关系，那就是当 $x_e\ \%\ ki$ 确定时， $y_e\ \%\ ki$ 也可以确定，那么对于每个区域，枚举点的 $x$ 值分别对 $52,\ 3,\ 4,\ 5$ 的取模情况，统计方案数，再对这 $n$ 个士兵进行判定，确定 $y$ 值对 $52,\ 3,\ 4,\ 5$ 的取值情况，计算出方案数，更新答案即可。
区域数量是 $n^2$ 个，枚举取模情况是 $O (60)$ 的，统计方案数是每个区域均摊 $O (60)$ 的，每次确定一对 $yx,\ y$ 关系是 $O (n)$ 的，所以总复杂度 $O(n3×120)O(n^3\times 120)$ 。

1008 TDL

题意

定义 $f (n, m)$ 表示大于 $n$ 且和 $n$ 互素的第 $m(1≤m≤100)m(1\le m\le100)$ 个数。给出一个 $(1≤k≤1018)k\ (1\le k\le 10^{18})$ ，求最小的一个 $n$ 满足
$n=k(f(n,\ m)-n)\ xor\ n=k$

题解

互素的关系很好找，我和zsd简单推测，在 $10^{18}$ 内枚举2000个数字即可找到100个互素的数字（后来sqy打表发现最大值为600+）。
不妨枚举这个 $m)−n)(f(n,\ m)-n)$ ，根据推测，枚举上限依然定为2000，那么可以根据上面等式算出此时 $n$ 的值，之后再简单判断一下 $n$ 加上我的枚举值是不是真的互素，通过测试后再暴力找 $m)f(n,\ m)$ ，之后取一个最小的合法的 $n$ 即可。
若枚举上界为 $p$ ，那么复杂度为大致 $O(p^2log(k))$ 。