2019 Multi-University Training Contest 6

原来我不仅不会的题多，会写的也写得慢…

1002 Nonsense Time

题意

给出一个 $n(n\le 5\times 10^4)$的排列，一开始所有数字是不可用的，第 $i$ 个时刻解锁 $p_i$ 位置上面的数字，输出 $n$ 个数字，表示在第 $i$ 个时刻，所有已解锁的数字的最长上升子序列长度。
重点：数据保证是随机生成的

题解

数据是随机的，那么一个排列期望的LIS长度在$O(\sqrt{n})$级别的，这个结论是我暴力跑出来的。
倒着做，先求出整个排列的LIS，并记录下其中一种LIS的方案，然后按时间去掉点，这个点正好在LIS上的概率是$\frac{1}{\sqrt{n}}$的，那么此时就对当前数列重新跑一边LIS，否则答案不变。
这里我的LIS求方案挂了很多次，用了一些Naive的方法，这里写一下正确的弄法：
每次加入一个点，都记录它是从哪转移过来的，最后从 $DP[len]$ 搜索方案。
要去掉 $n$ 个点，期望重做LIS $\sqrt{n}$ 次，一次LIS是 $O(nlogn)$ 的，那么期望总复杂度就是$O(n\sqrt{n}logn)$。

1004 Speed Dog

题意

这标题是提速狗？
给出 $n(n\le 250000)$ 对 $a_i,b_i(1\le a_i,b_i\le 1000)$，每一对$a_i,b_i$都可以自行选择一个$0\le x_i\le 1$。
$A={\sum }_{i=1}^n{a}_i\times x_i,B={\sum }_{i=1}^n{a}_i\times (1-x_i)$ 。
输出$n$个分数，表示当$n=i$时，能使$max(A,B)$的最小值。

题解

先说jls的做法吧，贪心，将 $\frac{a_i}{b_i}$ 排个序，小的全给A，大的全给B，只留中间一个，按照最优策略分配。
那么可以维护一个大根堆，表示A选好的，一个小根堆，表示B选好的。
每次加入一个物品，先简单地把它加入其中一个堆，之后再通过调整恢复到一开始的最优策略。
$a_i,bi$都很小，调整次数可以认为很少，所以复杂度能够接受。

1005 Snowy Smile

题意

队友写得，看都没看

1006 Faraway

题意

有$n(n\le 10)$个士兵，给出边界$m(m\le 10^9)$,他们有一个共同的目标点$(x_e,y_e)(0\le x_e,y_e\le m\le 10^9)$。
告诉你每个人的坐标$x_i,y_i(0\le x_e,y_e\le m)$，以及一个$k_i(2\le k_i\le 5)$和一个$t_i(0\le t_i<k_i)$，表示这个士兵到目标点的
曼哈顿距离$mod{k}_i=t_i$。
求有多少个点是可能的目标点。

题解

每个士兵作为一个坐标原点建立直角坐标系，那么当目标点处于它的四个象限时，计算曼哈顿距离的式子是不同的。
那么这 $n$ 个点可以将平面划分为 $n^2$ 块矩形区域，可以确定每个区域内的点对这 $n$ 个点计算曼哈顿距离的式子，那么每个士兵都可以确定一个关系，那就是当 $x_e\%ki$确定时，$y_e\%ki$也可以确定，那么对于每个区域，枚举点的 $x$ 值分别对$2,3,4,5$的取模情况，统计方案数，再对这 $n$ 个士兵进行判定，确定 $y$ 值对$2,3,4,5$的取值情况，计算出方案数，更新答案即可。
区域数量是$n^2$个，枚举取模情况是$O(60)$的，统计方案数是每个区域均摊$O(60)$的，每次确定一对$x,y$关系是$O(n)$的，所以总复杂度$O(n^3\times 120)$。

1008 TDL

题意

定义$f(n,m)$表示大于 $n$ 且和 $n$ 互素的第 $m(1\le m\le 100)$ 个数。给出一个$k(1\le k\le 10^{18})$，求最小的一个 $n$ 满足
$$(f(n,m)-n)xorn=k$$

题解

互素的关系很好找，我和zsd简单推测，在$10^{18}$内枚举2000个数字即可找到100个互素的数字（后来sqy打表发现最大值为600+）。
不妨枚举这个$(f(n,m)-n)$，根据推测，枚举上限依然定为2000，那么可以根据上面等式算出此时 $n$ 的值，之后再简单判断一下$n$加上我的枚举值是不是真的互素，通过测试后再暴力找$f(n,m)$，之后取一个最小的合法的$n$即可。
若枚举上界为 $p$ ，那么复杂度为大致$O(p^{2}log(k))$。

1012 Stay Real

题意

给你一个规模为 $n(n\le 10^5)$的小根堆，两个人轮流从叶子节点取走数字，每个人都希望自己取出的数字和最大，求最终两个人分别取得的数字和。

题解

根据小根堆的性质，你如果取出了最大值，那么次大值此时一定是可取的，所以最优策略就是取当前最大值。
从大到小排个序，先手取奇后收取偶即可。

补题

• 1002
• 1004
• 1006
• 1008
• 1012

看题

1001
1003
1005
1007
1009
1010
1011