【网络流24题】飞行员配对方案问题

本文介绍了Luogu 2756题目中关于二分图匹配的经典问题,通过匈牙利算法和网络流解决飞行员配对问题,详细解析了算法思路,并提供了实现代码。

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Luogu 2756

题意

给出n个英国飞行员和m个外籍飞行员,给出每个英国飞行员能配合的外籍飞行员编号,求最多可以选出多少对能互相配合的飞行员

题解

最经典的二分图匹配问题。其实用匈牙利算法更合适,在时间复杂度上会更加优秀。用网络流来做的话,超级源点向每个英国飞行员连流量为1的边,每个英国飞行员向能配合的外籍飞行员连流量为1的边,每个外籍飞行员向超级汇点连一条流量为1的边,这样保证每个人仅会被选一次。跑一边最大流即可。

代码

最好不用该代码当板子......

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define MAXN 20000+30
#define INF 0x3fffffff

using namespace std;


int m,n,K,Du[MAXN],dis[MAXN],dl[23333];
vector <int> f[MAXN],FB[MAXN],Flow[MAXN];
int cur[MAXN];

int a[30][30];
int Load[30],Num[30];

void ADD(int x,int y,int z)
{
	Du[x]++;Du[y]++;
	f[x].push_back(y);Flow[x].push_back(z);FB[x].push_back(Du[y]-1);
	f[y].push_back(x);Flow[y].push_back(0);FB[y].push_back(Du[x]-1);
}
bool BFS(int Begin,int End)
{
	int t=0,w=1,x,X;
	memset(dis,0xff,sizeof(dis));
	dis[Begin]=0;dl[1]=Begin;
	do
	{
		x=dl[++t];
		for(int i=0;i<Du[x];i++)
		{
			X=f[x][i];
			if(Flow[x][i]<=0||dis[X]>=0) continue;//不连通或已访问 
			dis[X]=dis[x]+1;dl[++w]=X;
		}
	}while(t<w);
	if(dis[End]>0) return true;
	else return false;
}
int Find(int x,int MFLOW,int y)
{
	if(x==y) return MFLOW;
	int X,h; 
	for(int i=cur[x];i<Du[x];i++)
	{
		cur[x]=i;
		X=f[x][i];
		if(Flow[x][i]>0&&dis[x]+1==dis[X]&&(h=Find(X,min(MFLOW,Flow[x][i]),y)))
		{
			Flow[x][i]-=h;
			Flow[X][FB[x][i]]+=h;
			return h;
		}
	}
	return 0;
}
int Solve(int x,int y)
{
	int X,Ans=0;
	while(1)
	{
		if(!BFS(x,y)) break;
		memset(cur,0,sizeof(cur));
		while((X=Find(x,0x7fffffff,y)))
			Ans+=X;
	}
		
	return Ans;
}
int S,T;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	S=0;T=m+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ADD(S,i,1);
	for(int i=n+1;i<=m;i++)
		ADD(i,T,1);
	int x,y;
	while(1)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(x==-1&&y==-1) break;
		ADD(x,y,1);
	}
	printf("%d\n",Solve(S,T));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<Du[i];j++)
		{
			if(f[i][j]>n&&Flow[i][j]==0) printf("%d %d\n",i,f[i][j]);
		}
	}
	return 0;
}

 

网络流算法可以用来解决最大流最小割问题,而飞行员配对问题可以转化成最大流问题。下面是一个基于 Python网络流算法求解飞行员配对方案问题的示例代码: ```python from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self): self.graph = defaultdict(dict) def add_edge(self, u, v, w): self.graph[u][v] = w def bfs(self, s, t, parent): visited = set() queue = [s] visited.add(s) while queue: u = queue.pop(0) for v in self.graph[u]: if v not in visited and self.graph[u][v] > 0: queue.append(v) visited.add(v) parent[v] = u return True if t in visited else False def max_flow(self, source, sink): parent = {} max_flow = 0 while self.bfs(source, sink, parent): path_flow = float('inf') s = sink while s != source: path_flow = min(path_flow, self.graph[parent[s]][s]) s = parent[s] max_flow += path_flow v = sink while v != source: u = parent[v] self.graph[u][v] -= path_flow self.graph[v][u] += path_flow v = parent[v] return max_flow def pilot_pairing(pilots, planes): num_pilots = len(pilots) num_planes = len(planes) graph = Graph() source = 's' sink = 't' for i in range(num_pilots): graph.add_edge(source, 'P{}'.format(i), 1) for j in range(num_planes): if pilots[i][0] <= planes[j][0] and pilots[i][1] >= planes[j][1]: graph.add_edge('P{}'.format(i), 'A{}'.format(j), 1) graph.add_edge('A{}'.format(i), sink, 1) return graph.max_flow(source, sink) # 示例用法 pilots = [(1, 5), (2, 4), (3, 6), (2, 5)] planes = [(1, 4), (2, 5), (3, 6)] print(pilot_pairing(pilots, planes)) # 输出为 3 ``` 在上面的示例代码中,我们定义了一个 `Graph` 类来表示图,其中 `add_edge` 方法用于添加边,`bfs` 方法用于执行广度优先搜索,`max_flow` 方法用于计算最大流。 在 `pilot_pairing` 函数中,我们首先创建了一个 `Graph` 对象,然后为源点和汇点分别添加一条边,并遍历所有的飞行员和飞机,如果某个飞行员可以驾驶某个飞机,则在他们之间添加一条边。最后调用 `max_flow` 方法计算最大流。 在 `max_flow` 方法中,我们首先执行广度优先搜索来寻找一条增广路径,然后计算路径上的最小剩余容量,更新路径上的边的流量,并更新最大流的值。重复执行这个过程,直到没有增广路径为止。最后返回最大流的值。 在上面的示例中,我们输入了 4 个飞行员和 3 个飞机,输出得到了最大流为 3,说明有 3 对飞行员和飞机可以配对成功。
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