判断一个数是否为4的幂

分析:

首先想到的肯定是for循环写出来,但是for循环写出来的肯定有大量的资源消耗,所以优化的话就是运用位运算来解决。

要想判断一个数是否为4的幂,先判断一个数是否为2的幂。

先看一下1到8 对应的二进制的数,能不能找到规律
在这里插入图片描述

把2的幂单独摘出来,2的幂就是在上一个数的基础上乘2,而乘2在二进制中就是在后面补零。

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每个2的幂的数都是:首位为1后面都是0

那么怎么不用for循环判断呢?下面就是一个技巧:

在这里插入图片描述

2和1的二进制,进行&操作 ——> (10&1)==0

4和3的二进制,进行&操作 ——> (100&11)==0

8和7的二进制,进行&操作 ——> (1000&111)==0

这就是一个恒定的规律:如果(n&n-1)==0那么这个数一定是二的幂(限定:n-1>=0)。

接着那么怎么判断一个数是不是4的幂 ——> 找规律

把4的幂单独摘出来,4的幂就是在上一个数的基础上乘4,而乘4在二进制中就是在后面补两个零。
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所以四进制的1一直都在奇数位上,那么找一个数进行&操作后,能判断出来1在奇数位还是在偶数位,那问题不就解决了。恰好,真有几个特殊的数

在这里插入图片描述
(n&0xaaaaaaaa)==0,那这个数不就是4的幂了,

(n&0x55555555)!=0,那这个数不就是4的幂了,

所以:

import java.util.Scanner;

public class exercise1 {

    public static void main(String[] args) {

        Scanner scan = new Scanner(System.in);

        long n = scan.nextLong();

        if((n&(n-1))==0&&n-1>=0&&(n&0x55555555)!=0) {

            System.out.println("true");

        }else {

            System.out.println("false");

        }

    }

}
<think>我们判断一个是否是3的,可以考虑使用循环或学方法。 方法1:循环除法 如果给定的n小于1,则不是3的。 如果n等于1,则是3的(因为3^0=1)。 然后,我们循环地将n除以3,直到n不能被3整除(即余不为0)。如果最后n变为1,则说明是3的;否则不是。 方法2:利用对 使用学方法,我们可以计算log3(n)是否为整。但是要注意浮点的精度问题。 方法3:利用整限制 在整范围内,3的是有限的。我们可以预先计算所有3的(直到某个上限,比如2^31-1),然后判断给定的是否在这个集合中。 考虑到简单性和避免浮点精度问题,我们可以使用方法1(循环除法)或方法3(预先计算)。但是方法3需要知道整的范围,而方法1更通用。 这里我们使用方法1,并注意处理负和非整的情况(但题目中我们假设输入是整,因为通常讨论整)。 另外,我们还可以使用位运算或学技巧,例如:在3的的二进制表示中,1只出现在奇位置?但这种方法并不直接,而且3的的二进制表示没有2那么有规律。 因此,我们采用循环除法: 步骤: 1. 如果n<=0,返回False(因为3的都是正,且0和负不考虑)。 2. 如果n==1,返回True(因为3^0=1)。 3. 当n大于1时,循环除以3,直到不能被3整除(即余不为0): n = n / 3 (注意:在Python中,使用整除法?但是题目没有说明是整,但通常为整,所以假设输入整4. 如果最后n等于1,则是3的;否则不是。 但是注意:在循环中,我们使用整除法?实际上,如果输入是整,那么每一步除法应该用整除,因为3的的因子只有3。但是,如果输入不是3的,那么中间步骤可能会出现小?为了避免小,我们可以使用整除(//)并检查余。 改进:在每一步,我们检查n除以3的余是否为0,如果余不为0,则不是3的;如果为0,则用n整除3,继续循环。 因此,具体步骤: while n % 3 == 0: n = n // 3 最后判断n是否等于1。 例如: 27: 27 % 3 == 0 -> n=27//3=9 9 % 3 ==0 -> n=9//3=3 3 % 3 ==0 -> n=3//3=1 循环结束,n==1 -> True 21: 21 % 3 ==0 -> n=21//3=7 7 % 3 !=0 -> 循环结束,n=7 !=1 -> False 注意:1的情况已经在循环前处理?或者我们可以将1包含在循环中?实际上,1%3=1,所以不会进入循环,然后判断n==1,返回True。所以不需要单独处理1。 因此,我们可以这样写: if n <= 0: return False while n % 3 == 0: n //= 3 return n == 1 但是,我们还需要考虑输入为1的情况,因为1%3=1,所以不进循环,然后判断n==1,返回True,正确。 所以代码可以这样写。 另外,还有一种递归写法,但循环更高效。 根据上述分析,我们编写函。 注意:题目没有说明输入一定是整,但判断通常针对整,所以如果输入是小,我们可以先判断是否为整,或者题目假设输入整。这里我们假设输入为整。 如果输入不是整,我们可以先转换为整?或者直接返回False?根据需求,这里我们只处理正整。 因此,代码实现如下:</think>### Python 判断一个是否是 3 的判断一个是否是 3 的,可以通过以下两种高效方法实现: #### 方法 1:循环除法(推荐) 核心思想:不断将字除以 3,直到结果为 1(是 3 的)或出现余(不是 3 的)。 ```python def is_power_of_three(n: int) -> bool: if n <= 0: return False while n % 3 == 0: n //= 3 return n == 1 ``` **原理说明**: 1. 负和非正整直接排除(`n <= 0`) 2. 循环条件:当 `n` 能被 3 整除时,执行 `n //= 3` 3. 最终结果:若 `n` 被简化为 1,说明原始字是 3 的 **示例验证**: - `is_power_of_three(81)` → `81/3=27` → `27/3=9` → `9/3=3` → `3/3=1` → 返回 `True` - `is_power_of_three(21)` → `21/3=7` → `7%3≠0` → 返回 `False` #### 方法 2:对换底公式(学方法) 利用换底公式验证指是否为整: $$ \log_3(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(3)} \quad \text{是否为整?} $$ ```python import math def is_power_of_three(n: int) -> bool: if n <= 0: return False # 检查对结果是否为整(需处理浮点精度) log_val = math.log(n) / math.log(3) return abs(log_val - round(log_val)) < 1e-10 ``` **注意事项**: - 浮点精度问题可能导致误判(需设置误差阈值 `1e-10`) - 性能略低于循环除法 #### 两种方法对比 | 特性 | 循环除法 | 对换底法 | |--------------|------------------|------------------| | 时间复杂度 | $O(\log_3 n)$ | $O(1)$ | | 精度可靠性 | 精确 | 需处理浮点误差 | | 代码简洁性 | ★★★☆☆ | ★★☆☆☆ | | 适用场景 | 通用场景 | 学计算场景 | ### 关键点总结 1. **边界处理**:负和非正整均不是 3 的 2. **特殊值**:$3^0=1$ 需返回 `True` 3. **算法选择**:优先使用循环除法避免浮点误差 4. **学原理**:3 的在质因分解中只含因子 3 > **提示**:此方法可扩展至判断任意整(如 4需同时满足 `is_power_of_two(int(math.log(n, 4)))`)[^4]。 --- ### 相关问题 1. 如何优化循环除法方法以处理超大整2. 判断 4判断 3 的在算法设计上有何异同? 3. 是否存在不适用循环/对判断方法? 4. 浮点精度问题在学计算中如何系统性地避免? 5. 如何批量检测一个列表中所有是否为 3 的
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