蓝桥杯2017 k倍区间 【前缀和】

问题描述
　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？
输入格式
　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出格式
　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入
5 2
1
2
3
4
5

样例输出
6

数据规模和约定
　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms
解题思路

       最简单的想法是两重for循环枚举所有区间，但是因为N能达到1e5，两重for就需要运算1e10，会超时。

      我们假设从第一个数开始到第i个数的和为 sum，sum%k == rare, 那么我们只要从第一个数到第i-1个数这个区间里减去一个从第一个数开始的连续的区间和%k = rare 的区间(假设这个区间为[ 1, j ] ），则sum - sum[1, j] 即区间[ j+1, i ]的和为k的整数倍。

      作法： 以数组cnt[p][i]记录区间[ 1, i ] 里区间和%k == p的从第一个数开始的连续区间的个数，以sum[ i ]记录前i个数的和，i从0到n枚举cnt[ sum[i]%k] [i-1]并加和即为所求的答案。 下面的代码是空间优化后的，为什么能优化？ 自己考虑下。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+5;
int a[maxn];
long long cnt[maxn];
int main()
{
	int n,k;
	cin >> n >> k;
	memset(cnt,0,sizeof cnt);
	long long tot=0,sum=0; 
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]); 
		sum += a[i];
		if(sum%k == 0)
			tot++;
		tot += cnt[sum%k];
		cnt[sum%k]++;
	}
	cout << tot << endl;
}