算法设计与分析课程复习笔记12——全点对最短路径

算法设计与分析课程复习笔记12——全点对最短路径

全成对最短路径

输入：有向图G=(V,E), 权函数w，
计算:图中任何点对之间的最短距离
结果表示: n × n矩阵, 元素是对应的点对之间的最短距离δ(u, v)

解决方案：

• 对于每一个顶点, 运行BELLMAN-FORD(单源最短))
  计算开销: O(V²E), 甚至O(V⁴)：对于边稠密的图
• 如果不存在负权值边, 可利用Dijkstra’s算法计算单源最短
  计算开销:O(VElgV), 甚至O(V³lgV)：对于边稠密的图
• 可以设计O(V³)开销的全成对最短路径算法，且不需要特殊的数据结构

最短路径的优化结构

• 最短路径的部分路径必然是最短的
• p是从i到j至多含有m条边的最短路径
  if i = j ,w(p) = 0
  if i ≠ j , p = i ~(p’)k→j，p’最多有m-1条边，p’也是最短路径
  δ(i, j) = δ(i, k) + $w_{kj}$

递归解
$l_{ij}^{(m)}$:从i到j至多含有m条边的最短路径的权
m=0, $l_{ij}^{(0)}$=0,if i =j;　$l_{ij}^{(0)}$=$\infty$,if i ≠j。
m$\ge$ 0,$l_{ij}^{(m)}$ = min1≤k≤n{ lik(m−1)+wkj}min_{1≤k≤n}\{l_{ik}^{(m-1)}+w_{kj}\}min1≤k≤n​{ lik(m−1)​+wkj​}

计算最短路径
m=1:$l_{ij}^{(1)}$=$w_{ij}$,$L^{(1)}$=W
给出W = ($w_{ij}$), 计算$L^{(1)},L^{(}$