表达式末尾的0

最新推荐文章于 2023-02-06 16:03:45 发布

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分类专栏：牛客网题目

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本文介绍了一种计算阶乘结果末尾连续零数量的方法。通过分析5因子的出现次数来确定零的数量，并提供了两种Python实现方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

表达式的结果中末尾连续的0出现的个数

牛客网：表达式末尾0的个数

题目描述

输入一个自然数n，求表达式 f(n) = 1!×2!×3!×…×n! 的结果末尾有几个连续的0？

输入描述:
自然数n

输出描述:
f(n)末尾连续的0的个数

思路：

这是一道找规律的题目。表达式的结果中末尾出现的0，只与两个数有关，那就是2和5。但事实上，我们通常不考虑2，所以只与一个元素有关，那就是5。为什么不考虑2呢，因为只要阶乘元素中出现了5的倍数，那么必定可以找到相应的偶数因子与这个5配对。因此可以不客气的说，一个5就对应一个末尾的0。

这里我们先考虑对于单个元素 n 的阶乘结果末尾0的个数：

比如，11的阶乘，阶乘的元素中有5，10这两个关键性的数。至于元素5，可以随意和任意偶数配对，使得结果末尾有一个0，至于10，我们仅把他当做“5”看待，那么这个“5”也定能找到相应的偶数（偶数不必是阶乘中的元素，元素中的因子也可以）结合。那么末尾中又有一个0。因此11的阶乘结果，末尾有两个0。

但是如果我们简单地只考虑 n 中包含多少个5，那么是得不到正确答案的。因为有特殊的元素，这个元素仅看作一个“5”是不对的。比如：25，125，625…。25可以看做两个“5”，125可以看做3个“5”，以此类推。那么新的问题来了，怎么计算“5”的总个数？首先我们找出 n 对 5 的取整a1，再找 n 对 25 的取整 a2，再找 n 对 125 的取整 a3…然后将所有的a（i）累加即可。注意是所有a（i）的累加，而不是 $a 1 + 2 * a 2 + 3 * a 3 . . . . . . .$ 因为a1中计算5的取整时，也将25考虑在内了，因此计算25的取整时，尽管一个25的倍数可以看做两个“5”，由于之前已经计数过一次，所以只需要对当前计数一次就行。对于125以及625往后的取整，同理。

单个数的末尾0的计数已经搞清楚了，那么此题目的表达式是前 n 个元素阶乘的累乘。那就好办，遍历每个元素，对每个元素计数其中“5”的个数。累加之后就是答案。可是新的问题来了，计数时，125，625哪个是上限？这与 n 有关，如果 n 本身还没有 25 大，那么只需要与 5 取整就可以。如果 n 是 101，那么 n 与 5 和 25 取整就可以，不需要对 125 取整。所以 n 决定了取整的上限，那么怎么得到这个上限呢？对数函数log就可以！
$k = i n t (m a t h . l o g (n, 5))$
k 就是最大幂次。好了，代码如下：（python3）
python2 只需要改动 input() 为 raw_input() 即可。

import math
n = int(input())
if n <=0:
    print(0)
else:
    res = 0
    k = int(math.log(n,5))
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,k+1):
            res += i//(5**j)
    print(res)

这样的循环遍历，有点呆，因为对大部分数而言，最大上限的取整就是0。所以我们要换个思路，仍然要遍历每个元素，但我们计数“5”的个数时，稍稍变通。

class CountZero:
    def count(self, x):
        res, pre = 0, 0
        for i in range(5, x+1):
            while i%5 == 0:
                i //= 5
                pre += 1
            res += pre
        return res
k = int(input())
print(CountZero().count(k))

这里的pre变相的保存了相邻的前面元素的 “5” 的计数，这样不但省去了上面规律的讨论，而且这种接力计数很省时！