斜率优化dp - 防御准备（BZOJ3156）_防御准备斜率优化-优快云博客

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本文详细解析了斜率优化动态规划的基本原理与实现步骤。通过定义状态转移方程f[i] = min(f[j]) + (i-j)*(i-j-1)/2 + a[i]，并将其转化为线性方程y = kx*b的形式，利用单调队列维护最优决策序列，实现了高效求解。

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Analysis

比较裸的斜率优化
1.推出转移方程
定义 $f [i]$ 表示在第i个位置上放守望塔的最小花费
显然最后答案在 $f [n]$ 中
转移方程 $f [i] = m i n f [j] + (i - j) * (i - j - 1) / 2 + a [i] （ j < i ）$
2.转化形式，变作 $y = k x * b$
（y，x只与j有关，k，b只与i有关）
得到
$2*f[j]+j^2+j=2i*j+2*f[i]-i^2+i-2*a[i]$
然后因为斜率（2*i）和决策（j）都是单调递增的，我们用单调队列维护一个下凸包即可

Code


#include<bits/stdc++.h>
#define in read()
#define re register
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	char ch;int f=1,res=0;
	while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') f=-1;
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return f==1?res:-res;
}
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
int n,a[N],q[N];
ll f[N];
inline double slope(int x,int y){
	return (double)(2*f[y]+y*y+y-2*f[x]-x*x-x)/(double)(y-x);
}
signed main(){
	n=in;
	for(re int i=1;i<=n;++i)	a[i]=in;
	int l=0,r=0;
	for(re int i=1;i<=n;++i){
		while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<2*i) l++;
		f[i]=f[q[l]]+(i-q[l])*1ll*(i-q[l]-1)/2+a[i];
		while(l<r&&slope(i,q[r])<slope(q[r],q[r-1])) r--;
		q[++r]=i;
	}
	cout<<f[n];
	return 0;
}