伽罗华有限域_伽罗华域(Galois Field，GF，有限域)乘法运算 | 学步园

GF(2m)域

当m=8时，本原多项式为P(x) = x8+ x4+x3+ x2+ 1 .

这个很重要，因为一切化解都来源与此式。

在伽罗华域中,加法等同于对应位异或,所以

现在把α定义为P(x) = 0的根，即

α8＋α4＋α3＋α2＋1 = 0

即可以得到 α8=α4＋α3＋α2＋1

接着先给出下表付推导过程

下面就按以下规则进行乘法运算

0=000   就是0

1=001   就是1

2=0010就是x+0=x

3=0011就是x+1

4=00100就是x^2

然后对于两个变量

u,v

可以先计算两个对应多项式的乘积(需要注意的是加法是模2的，或者说是异或运算)，

比如

3*7=(x+1)*(x^2+x+1)=x*x^2+x*x+x+x^2+x+1=x^3+1   (模2运算中x+x=0   and   x^2+x^2=0)

所以3*7=9

在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)求余数，也就是

129*5=(x^7+1)*(x^2+1)=x^9+x^7+x^2+1

将上面的函数加上x*h(x)可以消去x^9,(其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1)，所以

129*5=x^9+x^7+x^2+1+x^9+x^5+x^4+x^3+x=x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

=0010111111=191