<think>嗯,用户现在问的是合并重叠区间的问题,我之前已经回答过最大子数组和的问题,用的是Kadane算法。那现在这个问题应该怎么处理呢?首先,我得理解题目要求。题目是给定一个区间数组,要合并所有重叠的区间,返回不重叠的区间数组,同时要覆盖原来的所有区间。那怎么判断区间是否重叠呢?
首先,我应该想到可能需要先对区间进行排序。比如,按照每个区间的起始点进行排序,这样处理起来更方便。因为排序之后,相邻的区间如果是重叠的,就可以更容易地合并。比如,假设排序后的区间是[1,3],[2,6],那么这两个区间可以合并成[1,6]。而如果下一个区间是[8,10],这时候就不会重叠,直接保留。那排序这一步应该是关键。
那具体的步骤应该是怎样的呢?首先,如果输入的区间数组是空的,直接返回空数组。否则,先按每个区间的起始点排序。然后初始化一个结果列表,把第一个区间放进去。然后遍历剩下的每个区间,比较当前区间的起始点和结果列表中最后一个区间的结束点。如果当前区间的起始点小于等于最后一个区间的结束点,说明有重叠,需要合并,合并后的区间的结束点取两者的最大值。否则,直接添加到结果列表中。
比如,示例中的情况:假设输入是[[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]],排序之后就是已经按起始点排好的。合并的时候,第一个区间[1,3],然后第二个区间起始是2,小于3,合并成[1,6]。第三个区间8>6,所以不合并,直接加入。第四个15>10,加入。结果就是[[1,6],[8,10],[15,18]]。
那有没有特殊情况需要考虑呢?比如,区间完全包含的情况。比如,[1,4]和[2,3],这时候合并之后还是[1,4]。所以在合并的时候,结束点应该取两个区间的最大值。这样处理应该没问题。
那代码部分怎么写呢?首先在Python中,可以用sort方法对列表进行排序,并且用key参数指定按每个元素的第一个值排序。然后遍历排序后的区间,逐个合并。这时候需要注意,如果结果列表为空,需要先添加第一个区间,否则比较当前区间和结果最后一个区间。
那测试一下边界情况,比如只有一个区间的情况,或者所有区间都重叠的情况。比如输入是[[1,4],[4,5]],这时候合并成[1,5]。还有像输入是[[1,4],[2,3]],合并之后还是[1,4]。
那代码的大致结构应该是这样的:
def merge(intervals):
if not intervals:
return []
# 按起始点排序
intervals.sort(key=lambda x: x[0])
res = [intervals[0]]
for current in intervals[1:]:
last = res[-1]
if current[0] <= last[1]:
# 合并,更新结束时间
last[1] = max(last[1], current[1])
else:
res.append(current)
return res
不过这里要注意的是,在Python中,列表中的元素是直接引用的,所以在合并的时候,是否应该创建一个新的区间,而不是修改原来的区间?比如原来的区间是[[1,3],[2,6]],合并后的应该是[1,6],这时候是否需要生成新的区间,而不是修改原来的?比如,原代码中res添加的是intervals[0],也就是原来的第一个元素,然后在合并的时候直接修改这个元素的结束时间。这在Python中是可行的,因为列表中的元素是直接引用的。但这样会改变原输入的数组,不过题目可能不要求保留原数组,所以可能没问题。但为了安全起见,可能更好的做法是每次合并时创建新的区间。或者,在初始化res的时候,使用深拷贝或者新建列表。比如,res.append([intervals[0][0], intervals[0][1]]),这样避免修改原数组。但题目并没有要求保持原数组不变,所以可能不需要。不过根据题目要求,输出正确即可,所以直接修改可能没问题。
但测试的时候,比如输入是[[1,4],[2,3]],合并之后应该变成[[1,4]]。代码中的处理是当current的start是2,小于等于last的end4,所以合并,将last[1]设置为max(4,3)=4。这没问题。
那这样的代码是否正确呢?应该可以处理大部分情况。那时间复杂度是O(n log n),因为排序的时间是O(n log n),遍历是O(n)。空间复杂度是O(n),用来存储结果。
那用户可能还需要示例的解析,比如上面的例子。另外,还需要处理输入为空的情况,或者只有一个区间的情况。所以代码中的判断是必要的。
总结来说,解决这个问题的主要步骤是:排序、遍历合并。这样就能高效地合并所有重叠的区间。</think>### 问题分析
给定区间集合 `intervals`,需合并所有重叠区间,生成一个不重叠的区间数组,且覆盖所有原始区间。重叠的定义为:两个区间存在交集或端点相接(例如 `[1,3]` 和 `[3,5]` 需合并为 `[1,5]`)。
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### 解决方法:排序 + 线性扫描
#### 核心思想
1. **排序区间**:按区间左端点升序排列,使重叠区间相邻。
2. **合并重叠**:遍历排序后的区间,动态合并重叠的相邻区间。
#### 算法步骤
1. **边界处理**:若输入为空,直接返回空数组。
2. **排序**:按区间左端点 `starti` 排序。
3. **初始化结果列表**:将第一个区间加入结果列表。
4. **遍历合并**:
- 若当前区间与结果列表中最后一个区间重叠,更新合并后的右端点。
- 若不重叠,直接加入结果列表。
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### Python3 代码实现
```python
def merge(intervals):
if not intervals:
return []
# 按区间左端点排序
intervals.sort(key=lambda x: x[0])
merged = [intervals[0]] # 初始化结果列表
for current in intervals[1:]:
last = merged[-1]
# 判断是否重叠
if current[0] <= last[1]:
# 合并区间,更新右端点(取较大值)
last[1] = max(last[1], current[1])
else:
merged.append(current)
return merged
```
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### 复杂度分析
1. **时间复杂度**:$O(n \log n)$
- 排序操作占 $O(n \log n)$
- 线性扫描占 $O(n)$
2. **空间复杂度**:$O(n)$
存储合并后的结果列表。
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### 示例解析
以 `intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]` 为例:
1. **排序后**:`[[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]`(已有序)
2. **合并过程**:
- 初始合并列表 `[[1,3]]`
- 处理 `[2,6]`:与 `[1,3]` 重叠 → 合并为 `[1,6]`
- 处理 `[8,10]`:无重叠 → 直接加入
- 处理 `[15,18]`:无重叠 → 直接加入
3. **最终结果**:`[[1,6],[8,10],[15,18]]`
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### 关键点
- **排序必要性**:通过排序确保所有可能重叠的区间相邻。
- **合并条件**:只需比较当前区间的左端点与已合并区间的右端点。
- **完全覆盖处理**:例如 `[1,4]` 和 `[2,3]`,合并后仍为 `[1,4]`。