对数效率求斐波那契数

讨论一个著名的数列——斐波那契数列（Fibonacci sequence），其第0项为0，第1项为1，从其第2项开始，每一项都为前面两项的和，即：

C语言中，我们很自然能够得出如下的递归代码：

#define var __int64
var Fibonacci2(int n) {
	if (n <=1) {
		return n;
	}
	return Fibonacci2(n - 1) + Fibonacci2(n - 2);
}

其中var是由宏定义的，如果为int(4字节)类型，将在第47个数溢出，在其他语言中可能不需要考虑这个问题，这不是我们讨论的重点。该算法效率是指数级的，代码简短带来的问题可能就是性能的低下。读者可以尝试用循环和常数辅助空间实现的算法。下面实现一种的算法，基于等式：

读者若感兴趣，可以用数学归纳法证明。

右式是一个2阶方阵，如果用普通矩阵乘法计算，效率类型也是，还需讨论如何更高效实现矩阵乘方。

对于指数为非负整数的乘方运算，我们可以将指数视为二进制，例如：

可以通过迭代的方式得到权值，即：

具体实现为：

var pow(int a, int n){
	int sum = 1;
	int temp = a;
	while (n) {
		if (n % 2) {
			sum *= temp;
		}
		temp = temp * temp;
		n /= 2;
	}
	return sum;
}

将sum和temp的类型视为二维数组，初始的1就改为单位矩阵，以上的思想可以推广到矩阵乘方。

同时，由于sum和temp是对称阵，可以压缩为一维数组。

同样，矩阵乘法不是我们讨论的重点，以下为具体实现：

#include<stdio.h>
#define var __int64

var Fibonacci(int n) {
	var sum[] = { 1, 0, 1 };//a11,a12(a21),a22
	var temp[] = { 0, 1, 1 };//b11,b12(b21),b22
	var k;//辅助空间
	while (n) {
		if (n % 2) {
			k = sum[0] * temp[0] + sum[1] * temp[1];
			sum[1] = sum[0] * temp[1] + sum[1] * temp[2];
			sum[0] = k;
			sum[2] = k + sum[1];
		}
		k = temp[0] * temp[0] + temp[1] * temp[1];
		temp[1] = temp[0] * temp[1] + temp[1] * temp[2];
		temp[0] = k;
		temp[2] = k + temp[1];
		n /= 2;
	}
	return sum[1];
}

int main() {
	for (int i = 0; i < 100; i++) {
		printf("%d:%lld ", i, Fibonacci(i));
	}
}

 很明显，循环内部的基本操作是常数时间，该算法效率优化到了。

但第93个数已经溢出64位整数所能表示的范围，解决这个问题需要实现大整数类。

读者可用time.h库对多种算法单独进行测试，此算法优化幅度是非常大的。