【学习小结】反演，容斥，组合计数

推数学式子的时候不仅要从组合意义上把式子的意义完完全全理解，还要从实际问题的边界条件出发检验式子的正确性！所有组合计数题一定要把式子一遍推正确，因为根本没法再调试找到错误，太浪费时间了！

关于反演的本质：

变换和逆变换：$$f=A\ast g,g=B\ast f且AB=I（A,B互为逆矩阵）$$

解线性方程组找到两个序列的关系。详细在这里

vfk的反演讲义

这个讲义给我最大的收获是推二元卷积式子时候：把贡献的条件拆开，对两部分分别变换，乘起来再逆变换，而这两个变换还可能不同。
比如最后一题子集卷积：多记录一维状态，把集合大小考虑进去，就能很好分拆了
另外多层反演的时候，把每一层中与相同变量相关的部分设为相同函数，然后再观察式子的已知、未知部分，多次反演
这是例题

所有反演的推到和证明都可以利用最基本的繁衍式子：
$$\begin{array}{rl}{f}_n=\sum _{i=0}^{n}b[n][i]g_i& =\sum _{i=0}^{n}b[n][i]\sum _{j=0}^{i}a[i][j]f_j\\ & =\sum _{i=0}^n{f}_i\sum _{j=i}^{n}b[n][j]\ast a[j][i]\end{array}$$

因此a,b之间的关系可以简单的写成：$$\sum _{j=i}^{n}b[n][j]\ast a[j][i]=\delta (n,i)$$

1. 二项式反演（贡献关系是组合形式）

二项式反演就是把精确值转换成>=或<=,注意多贡献的值是一个组合数，而不是直接减去f[k-1]

找方程，最后反演求解

例题

BZOJ2839 : 集合计数

2. 斯特林数反演

仍然引用大佬的介绍from yyb

斯特林数是把p次多项式线性空间的两组基：A=(1,x,x²,…,x^p) , B=(1,[x]¹,…,[x]^p）相互变换的系数。
其中，第一类斯特林数的是：A到B，即下降（上升）幂，到x^p,第二类斯特林数是B到A，即x^p到降（上升）幂
这个推到可以直接用数学归纳法，作差证明。甚至在《组合数学》中，把斯特林数定义成了这个系数，然后推到出了斯特林数的递推式
斯特林数的求法
第一类：写成生成函数： ∑ i = 0 n S 1 ( n , i ) x i = ∏ i = 0 n − 1 ( x + i ) \sum_{i=0}^n S_1(n,i)x^i=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)