素数测试

原创于 2019-06-30 11:29:54 发布 · 478 阅读

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#判定素数

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普通代码：

bool prime(int n)
{
	if(n==2) return true;
	if(n<2||n%2==0) return false;
	int j=3;
	while(j<=(int)sqrt(n))
	{
		if(n%j==0) return false;
		j=j+2;
	}
	return true;
}

利用费马小定理，对于给定的整数n，取一个正整数 a (1 < a < n ), 通过计算 $\equiv a^{n-1}(mod \ n)$ 来判定整数n的素性。
素数测试：设a , n 为正整数
(1)若 $a^{n-1}$ ≠ 1 $\ n)$ ，则n一定为合数。
(2)若 $a^{n-1}\equiv 1 (mod \ n)$ ,则几乎可以肯定地确认n为素数，因为出错率很小。
注意：如n=1是上面就不成立， $2^{34}mod(\ 341)=1$ ，但341是合数。为了提高测试的准确性，可以随机地选取整数1 < a < n - 1。费马小定理毕竟只是素数判定的一个必要条件

欧拉定理：

设a和m是整数（m>0）。记 $\varphi (m)$ 是1到m的整数中与m互素的整数的个数，则 $a^{\varphi(m)}\equiv 1 (mod \ m)$ .
证明：略。
为增加测试效率,可利用二次探测定理：如果p是一个素数，0<x<p,则方程 $x^{2}$ ≡1(mod p)的解为x=1或x=p-1。
一旦发现违背二次探测条件，即可得出n不是素数的结论。
Miller-Rabin 素数测试算法如下：
输入： n与a（a在2,···，n-1这些数中随机取值）
输出： true 或 false
关于讲解Miller-Rabin的博文,讲得比较有条理
对应的模板题 hdu 2138
上面那篇博客里的主要代码：

bool Miller_Rabin(int n)//利用Miller_Rabin判断n是否为素数
{
    if(n==2) return true;
    if(n<2||(n&1)==0) return false; 
    ll t,a;
	ll y;
	ll x;
    ll u=Mod_t(n-1,t);//求出n-1=u * 2^t 中的u，与t的值
	for(int i=0;i<10;i++) //这里表示用几次a的值,次数越多准确度越高，一般2次正确率就有点高了，一次的话题目数据比较水，还是可以过的
	{
		a=rand()%(n-1) + 1;
		x=Mod_u(a, u, n);//求出a^u mod n的值
		for(int j=0;j<t;j++)
		{
			y=(x*x)%n;
			if(y==1&& x!=1 && x!=n-1) 
				return false;
			x=y;
		}
		if(x!= 1 ) return false ; //经过t次后x=a^(n-1) mod n, （费马小定理）若x不为1，说明n一定不为素数
		
	}
	return true;
}

另一种表示 $a^{n-1}$ 形式，用二进制表示；
举例：
$a^{11}=a^{1011}（幂用二进制表示）= a^{\{\ [\ (0+1)*2+0\ ]*2+1 \ \}*2+1} \\ ={[(1*a)^2*1] ^2*a}^2*a$
下面的代码与上面不同的就是模拟这个运算过程

int B[1000];

ll get_B(int x)
{
    int cnt=0;
    while(x)
    {
        if(x&1)
            B[cnt++]=1;
        else 
            B[cnt++]=0;
        x>>=1;
    }
    return cnt;
}

bool Rb(int n)
{
    if(n==2) return true;
    if(n<2||(n&1)==0) return false;
    ll a=2;//这里a值取2
    ll x=1;
    ll y;
    ll len=get_B(n-1);
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        a=rand()%(n-1)+1;
        x=1;
        for(int i=len-1;i>=0;i--)
        {
            
            y=x*x%n;
            if(y==1&& x!=1&&x!=n-1) 
                return false;
            if(B[i]==1)
                y=y*a%n;
            // cout<<B[i]<<" "<<"y , x ="<<y<<";"<<x<<endl;
            // else  
                // y=y*1%n;
            x=y;
        }
        if(x!=1)
            return false;
    }
    
    return true;
    
}