红黑树及相关操作解析

由于面试被问到红黑树，特意查阅资料，并做此笔记。

1、前言

谈到红黑树，首先需要了解二叉搜索树，其特点主要有：
1、有序的，或排序的，二叉树；
2、节点可以有2个子树；
3、左子树的值比较小；
4、右子树的值比较大
下面是一个二叉搜索树的例子：

当一个搜索二叉树变成下面这样，有会怎样呢

可想而知，如果想搜索值为1 的节点，需要遍历所有的节点。他的时间复杂度也就是O(n)。解决这个问题就需要用到平衡搜索树，他的时间复杂度是O(log n)，红黑树是特殊的一种平衡二叉树，其性质有：

1、其节点是红色或黑色。
2、根节点和叶子节点都是黑色（叶子是NIL节点）。
3、每个红色节点的两个子节点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点）
4、从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

额外注释：
1、节点需要一个存储位来跟踪颜色。
2、最长路径（从根到最远的零）不超过最短路径长度的两倍（从根到最近的零）。
-最短路径：所有黑色节点
-最长路径：红黑相间
下面是一个红黑树方便理解：

2、红黑树的操作

操作及时间复杂度
1、查询 O(log n)
2、插入 O(log n)
3、删除 O(log n)
空间复杂度为O(n)
其中插入和删除一个节点有可能改变树的结构，可能会违背了红黑树的性质，为了防止出现这一问题，我们需要用到旋转。

2.1 旋转

1、通过重新排列子树来改变树的结构
2、目标是降低树的高度。
- 红黑树：最大高度 O(log n)
- 较大的子树向上，较小的子树向下
3、不影响元素的顺序（较小的节点仍在左边，较大的节点仍在右边）

先不把树分为黑白两色，这样容易理解如何旋转
1、左旋：
向左旋转值为 5 的节点：
5 变成左孩子节点；10 变成父节点；8 变成 5 的右孩子节点；依次画出新的红黑树。下图为旋转之后的样子：

2、右旋：
向右旋转值为 10 的节点：
10 的左孩子 5 变成其父节点；10 变成 5 的右孩子节点；8 变成 10 的左孩子节点；依次画出新的红黑树，如下图：

可以发现：旋转之后的红黑树依旧保持其属性，值较小的节点在左边，值较大的节点在右边。

2.2 插入

前面我们已经发现，红黑树是一种自平横的二叉树，当我们插入时也必须保证新树保持平衡。
步骤：
1、插入 Z 节点并将其涂成红色
2、重新着色和旋转节点以修复冲突(维持红黑树的性质)
*对于第二步，又分为四种情况：
case 1：Z 为根节点
case 2：Z 的叔叔节点为红色
case 3：Z 的叔叔节点为黑色(triangle)
case 4：Z 的叔叔节点为黑色(line)
case 1：Z 为根节点
只有一个点，直接将节点颜色变为黑色。如下图：

case 2：Z 的叔叔节点为红色
当 Z 父节点的兄弟节点为红色这种情况下，需要改变 Z 节点的父节点、叔叔节点以及 Z 节点的祖父节点的颜色，如下图：

case 3：Z 的叔叔节点为黑色(triangle)
如下图，插入 Z 时，Z 节点的叔叔节点为黑色，且 Z节点与 Z 的父节点及Z 的祖父节点的连线为三角形：

在这种情况下，需要旋转A节点和Z节点，如下图：

case 4：Z 的叔叔节点为黑色(line)
如下图，插入 Z 时，Z 节点的叔叔节点为黑色，且 Z节点与 Z 的父节点及Z 的祖父节点的连线为直线型：

这种情况下，首先需要旋转B和A，用A替换掉B作为新的根节点，B变成A的左子树，依次建立新的红黑树，如下图：

然后改变颜色，如下图：

总结：
1、Z 为根节点 => 直接变为黑色
2、Z 的叔叔节点为红色 => 改变相应节点的颜色
3、Z 的叔叔节点为黑色(三角型) => 旋转Z与Z的父节点
4、Z 的叔叔节点为黑色(l直线型) => 旋转Z的祖父节点与Z的父节点；并改变相应节点的颜色。

例子

如上图，有一棵红黑树(为了方便，叶子结点没有画出)，现将要插入值为10的节点，具体操作如下所述：
1、10节点需要插在9的右子树上，这时需要旋转红黑树，Z为值为10的节点，uncle为值为13的节点，这时即为上述case 2，改变Z父节点、叔叔节点及祖父节点的颜色，如下图：

2、继而发现，12与15节点的颜色同时为红色，违背了红黑树的性质，则将12看做新插入的Z节点，继续修改，容易发现现在便是case 3 [Z 的叔叔节点为黑色(三角型)]，根据上述改变规则，将12旋转为15的父节点，15旋转为12的右子树根节点，依次建立新的红黑树，如下图：

此时，可以发现，12与15两个节点同时为红色，即为case 4 [Z 的叔叔节点为黑色(line)]，根据上述改变规则，将12旋转为8的父节点，8旋转为12 的左子树根节点，并依次建立新的红黑树，如下图：

最后重新着色：

完毕。