线性基学习

最新推荐文章于 2024-09-09 15:32:26 发布
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分类专栏： 数学 文章标签： ACM
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求线性基模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const N = 1e5 + 10;
int maxbit = 64;
ll a[N],p[N];   //p数组储存所有的线性基
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	memset(p,0,sizeof(p));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
			if((a[i] >> j) & 1){
				if(p[j] == 0){ 
					p[j] = a[i];
					break;
				}else	a[i] ^= p[j];
			}
		}
	}
	int r = 0;
	for(int i=maxbit-1;i>=0;i--) /
		if(p[i])	r++;
	cout<<r<<endl;   //线性基的个数
	ll k;
	while(cin>>k){
		if(k == 0){
			if(r == n)	cout<<"False"<<endl;
			else	cout<<"True"<<endl;
		}else{
			bool flag = false;
			for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
				if((k>>j) & 1)	k ^= p[j];
				if(k == 0){
					flag = true;
					break;
				}
			}
			if(flag)	cout<<"True"<<endl;
			else	cout<<"False"<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

 

luogu3812

题意：求最大能抑或的数

题解：从高位到地位扫描，每次保存最大的数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const N = 50 + 10;
int const maxbit = 64;
ll a[N],p[maxbit];   //p数组储存所有的线性基
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
			if((a[i] >> j) & 1){
				if(p[j] == 0){ 
					p[j] = a[i];
					break;
				}else{
					a[i] ^= p[j];
				}
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for(int i=maxbit-1;i>=0;i--){
		if(p[i])	ans = max(ans,ans ^ p[i]);	
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

HDU3949

题意：求n个数能表示的第k小的数是多少。

题解：找到线性基，化简为最简式。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const N = 10000 + 10;
int const maxbit = 64;
ll a[N],p[N],l[N];
int n,Q;
int main(){
	int T,caser = 0;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		printf("Case #%d:\n",++caser);
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		scanf("%d",&Q);
		memset(p,0,sizeof(p));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
				if((a[i] >> j) & 1){
					if(p[j] == 0){
						p[j] = a[i];
						break;
					}else{
						a[i] ^= p[j];
					}
				}
			}
		}
		for(int i=maxbit-1;i>=0;i--){   //转化为最简式，每一列只有一个1
			for(int j=i+1;j<maxbit;j++){
				if((p[j] >> i) & 1){
					p[j] ^= p[i];
				}
			}
		}
		int r = 0;
		for(int i=0;i<maxbit;i++){
			if(p[i]){
				l[r++] = p[i];
			}
		}
		while(Q--){
			ll k;
			scanf("%lld",&k);
			if(r != n)	k--;   //0可以表示
			if(k >= 1LL << r){
				printf("-1\n");
			}else{
				ll ans = 0;
				for(int j=0;j<maxbit;j++){
					if((k >> j) & 1)
						ans ^= l[j];
				}
				printf("%lld\n",ans);
			}
		}
	}
	return 0;
}

BZOJ2844

题意：对所有子集的抑或结果排序，查找给定的数的排名。

题解：设基的大小为r，那么每个数出现的次数为2^(n-r)。对于给定的数x，计算比x大的数有多。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int const N = 1e5 + 10;
int const maxbit = 64;
int const mod = 10086;
int n;
int a[N],p[maxbit],l[maxbit],Q;
int qpow(int a,int n){
	int ans = 1;
	while(n){
		if(n&1)	ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
			if((a[i] >> j) & 1){
				if(p[j] == 0){
					p[j] = a[i];
					break;
				}else{
					a[i] ^= p[j];
				}
			}
		}
	}
	scanf("%d",&Q);
	int r = 0;
	int ans = 0;
	for(int i=0;i<maxbit;i++){
		if(p[i])
			l[i] = r++;
	}
	for(int i=0;i<maxbit;i++){
		if(p[i] && (Q >> i) & 1){
			ans += (1<<l[i]);
		}
	}
	printf("%d\n",(ans % mod * qpow(2,n-r) % mod + 1) % mod);
	return 0;
}

BZOJ2460

题意：选取的能量值和最大，但是序号的XOR值不能为0。

题解：贪心策略，选取能量值最大的。如果后面选取的和前面的抑或和为0，那么不选取。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const N = 1000 + 10;
int const maxbit = 64;
struct Node
{
	ll val,id;
	bool operator < (const Node& e)const{
		return val > e.val;
	}
}a[N];
int n;
ll p[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i].id,&a[i].val);
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	ll ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
			if((a[i].id >> j) & 1){
				if(p[j] == 0){
					p[j] = a[i].id;
					break;
				}else{
					a[i].id ^= p[j];
				}
			}
		}
		if(a[i].id)
			ans += a[i].val;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

BZOJ2115

题意：找出从1到nXOR和最大的路劲。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const maxbit = 64;
int const N = 50000 + 10;
int const M = 100000 + 10;
struct Edge
{
	int to;
	ll val;
	Edge(int _to,ll _val):to(_to),val(_val){};
};
vector<Edge>G[N];
int n,m,cnt;
bool vis[N];
ll xorc[N<<1],p[N];   //环的个数可能大于点的个数
ll xorsum[N];  //记录从1到每一个点的XOR和
void dfs(int u,ll val){   //val表示从1到nowp的XOR和
	vis[u] = true;
	xorsum[u] = val;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		Edge &e = G[u][i]; 
		if(vis[e.to]){  //如果这个点之前来过，说明存在环，记录环的大小XOR和
			xorc[++cnt] = val ^ e.val ^ xorsum[e.to];;
		}else{
			xorsum[e.to] = val ^ e.val;
			dfs(e.to,xorsum[e.to]);
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		ll val;
		scanf("%d%d%lld",&u,&v,&val);
		G[u].push_back(Edge(v,val));
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=cnt;i++){  //找出线性无关的基
		for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
			if((xorc[i] >> j) & 1){
				if(p[j] == 0){
					p[j] = xorc[i];
					break;
				}else{
					xorc[i] ^= p[j];
				}
			}
		}
	}
	ll ans = xorsum[n];
	for(int i=maxbit-1;i>=0;i--){
		if(p[i])
			ans = max(ans,ans ^ p[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

CF448C

题意：有多少个集合，他们的乘积是完全平方数

题解：每个素数表示二进制的一位。完全平方数满足每个质数出现的次数为1，所以XOR后的结果为0，那么就满足完全平方数。所以结果为2^(n-r) - 1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const N = 1e5 + 10;
int const maxbit = 20;
int const mod = 1e9 + 7;
int const prime[] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67};
int a[N],p[maxbit];
int n;
void factor(int n,int id){
	for(int i=0;i<19;i++){
		int now = 0;
		while(n % prime[i] == 0){
			now ^= 1;
			n /= prime[i];
		}
		a[id] |= now * (1<<i);
	}
}
ll qpow(ll a,ll n){
	ll ans = 1;
	while(n){
		if(n&1)	ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		factor(x,i);
	}
	int r = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
			if((a[i] >> j) & 1){
				if(p[j] == 0){
					p[j] = a[i];
					r++;
					break;
				}else{
					a[i] ^= p[j];
				}
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",(qpow(1ll*2,n-r) - 1 + mod) % mod);
	return 0;
}

CF1100F

题意：对于每一次询问，求区间最大抑或值

题解：离线查找。记录以i为右端点的所有询问。贪心的寻找基，如果找的一个基可以取代旧的基，其坐标比原先的大，那么就选择，交换选择现在的基。因为越靠近右端点，它能被利用的区间越多。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int const N = 500000 + 10;
int const maxbit = 20;
int n,Q,c[N],l[N],r[maxbit],p[maxbit],ans[N];
vector<int>q[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&c[i]);
	scanf("%d",&Q);
	for(int i=1;i<=Q;i++){
		int r;
		scanf("%d%d",&l[i],&r);
		q[r].push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x = c[i];
		int k = i;
		for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
			if((x >> j) & 1){
				if(!r[j]){
					r[j] = x;
					p[j] = k;
					break;
				}else if(p[j] < k){
					swap(r[j],x);
					swap(p[j],k);
				}
				x ^= r[j];
			}
		}
		for(int j=0;j<q[i].size();j++){
			int t = q[i][j];
			for(int k=maxbit-1;k>=0;k--)	if(p[k] >= l[t]){
				ans[t] = max(ans[t],ans[t] ^ r[k]);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

牛客2019多校第四场B

题意：给定n个线性基，判断给定一个区间的所有线性基是否都能够产生x。

题解：线性交模板

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson id<<1
#define rson id<<1|1
typedef long long  ll;
int const maxbit = 32;
int const N = 50000 + 10;
int const M = 40;
ll a[N][M],x;
int n,m;
struct Base
{
    ll r[maxbit],f[maxbit];
    void init(){
        for(int i=0;i<maxbit;i++)
            r[i] = f[i] = 0;
    }
    bool insert(ll x){
        for(int i=maxbit-1;i>=0;i--) if(x >> i){
            if(!r[i]){  r[i] = x;   return true;}
            x ^= r[i];
            if(!x)  return false;
        }
        return false;
    }
    void insertn(ll x){  //插入新的基
        ll tmp = x;
        for(int i=maxbit-1;i>=0;i--) if(x >> i){
            if(!r[i]){  f[i] = tmp; r[i] = x;   return;}
            x ^= r[i];tmp ^= f[i];
            if(!x)  return;
        }
        return;
    }
    bool find(ll x){
        for(int i=maxbit-1;i>=0;i--) if(x >> i){
            if(!r[i])   return false;
            x ^= r[i];
        }
        return x == 0;
    }
    ll cacl(ll x){   //找到x是由基B中的哪几个基组成的
        ll ret = 0;
        for(int i=maxbit-1;i>=0;i--) if(x >> i){
            ret ^= f[i];  //x是由新基种类的
            x ^= r[i];
        }
        return ret;
    }
};
struct Node
{
    int l,r;
    Base base;
}node[N<<2];
void push_up(int id){
    Base base = node[lson].base;
    Base ans;
    ans.init();
    for(int i=31;i>=0;i--){
        ll x = node[rson].base.r[i];
        if(base.find(x))  ans.insert(x ^ base.cacl(x));     //如果在A能够表示，消除B的影响插入
        else    base.insertn(x);    //如果A不能够表示，直接插入
    }
    node[id].base = ans;
}
void build(int id,int l,int r){
    node[id].l = l, node[id].r = r;
    if(l == r){
        for(int i=0;i<=31;i++)
        node[id].base.insert(a[l][i]);
    }else{
        int mid = (l + r) >> 1;
        build(lson,l,mid);
        build(rson,mid+1,r);
        push_up(id);
    }
}
bool Query(int id,int l,int r,ll x){
    if(node[id].l == l && node[id].r == r) {
        return node[id].base.find(x);
    }
    int mid = (node[id].l + node[id].r) >> 1;
    if(r <= mid) return Query(lson, l, r, x);
    else if(l > mid) return Query(rson, l, r, x);
    else {
        return Query(lson, l, mid, x) && Query(rson, mid + 1, r, x);
    }
 
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int sz;
        scanf("%d",&sz);
        for(int j=0;j<sz;j++)   scanf("%lld",&a[i][j]);   //表示第i组数的第j个基
        for(int j=sz;j<=31;j++)    a[i][j] = 0;
    }
    build(1,1,n);
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d%lld",&l,&r,&x);
        if(Query(1,l,r,x))  printf("YES\n");
        else    printf("NO\n");
    }
    return 0;
}

 

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mkopvec的博客
06-12 218
题目描述 给定n个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。 输入格式 第一行一个数n，表示元素个数 接下来一行n个数 输出格式 仅一行，表示答案。 输入输出样例 输入 #1 2 1 1 输出 #1 1 说明/提示 1≤n≤50,0≤Si≤250 #include <bits/stdc++.h> #define N 51 #define ll ...
线性基 高斯消元法 C++
xcc134679的博客
09-09 359
线性基的基本思想是使用一个长度固定的二进制向量表示一组数的线性组合关系。通过不断向线性基中插入新的数，可以将这组数的线性组合关系表示为线性基中的若干个线性无关的向量的异或和。线性基是一种数据结构，用于高效地解决一类与线性无关性有关的问题。具体而言，线性基可以用于快速求解一组非负整数线性组合的最大值、最小值，或者进行异或运算的一些操作。
线性基——认识与理解
litble的成(tui)长(fei)史
12-16 1062
参考资料： 《工程数学线性代数》 线性代数的本质 线性基-百度百科 线性基学习笔记 线性基杂谈 一看这些参考资料就知道我也只是个线代萌新而已啊……所以不要把我说的东西太当真…… 向量空间 一个向量空间包含一个向量集合，一种向量加法，一种标量乘法，一个标量域 线性无关 对于向量空间(域为AAA)中的nnn个向量V1,V2,V3...VnV1,V2,V3...VnV_1,V...
Python机器学习中的线性代数基础教程
"这篇资源是一个关于机器学习所需的线性代数知识的英文教程，通过Python进行讲解，适合希望在机器学习领域应用线性代数基础知识的学习者。教程旨在提供一个实用的线性代数入门，帮助理解机器学习模型背后的数学原理...
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