动态规划解0-1背包问题

之前有写贪心法求解0-1背包问题，贪心法思路比较直接，而动态规划则没有那么容易理解。

两种算法思想策略对比

贪心法：

    每一步都取局部最优解

动态规划：

   不确定当前所放入背包的物品是否会成为最优解成分之一？

    当 j < w[i] 时（当前容重小于物品重量的）， m(i, j) = m(i-1, j)；

    当 j >= w[i] 时（当前容重大于物品重量的）, m(i, j) =  max（m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]+v[i]）； 

  将局部最优解先保留下来，每一步的最优解都会参考上一步的最优解。

  为了方便理解，举一个例子：

           n=5,W=10

           v[5]={2,2,6,5,4}

           w[5]={6,3,5,4,6}

制作表格

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	0	6	6	9	9	9	9	9	9	9
3	0	6	6	9	9	9	9	11	11	14
4	0	6	6	9	9	9	10	11	13	14
5	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15

             行数i代表了第i个背包，列数j代表了在当前所能容纳的最大容量j下，单元格的内容表示背包局部最优价值多少

 将每一步的背包价值用w[i][j]存储下来。

            我们需要一层循环来控制是否将物品放入背包，还需要一层循环来控制背包的容量。只有逐渐扩大背包的容量，逐步增加可放入背包的物品，如此分步，才能得到局部的最优解并将这个解保存下来，并为下一步的最优解提供比较信息。

            怎么分析这个表，因为w[i][j]的得到要依赖w[i-1][j],故要竖着分析。

                                 

        11是怎么来的？我们来分析一下：

         第三行较第四行，可选择的放入背包的物品多了重量为5，价值为6的物品。

         第二行9代表的是选择了前两个物品，也就是选择了重量分别为2,2，价值为6,3的物品。

         显然在纳量为8的情况下，重量2、6，价值为6、5的物品提供的总价值大于重量分别为2,2，价值分别为6,3的物品提供的价值，即将重量为2，价值为3的物品取出，放入重量为6,价值为5的物品，因此得到了11这个局部最优解。

           很巧妙的算法思想，让我们来看看它的时间复杂度：O（M*N）

           如果使用DFS思想求解，时间复杂度为O(2^N）

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

class goods
{
public:
    int w;//重量
    int v;//价值
    int flag=0;//是否被放入背包的标志

    goods(int w1=0,int v1=0)
    {
        w=w1;
        v=v1;
    }
};

class question
{
private:
    int W;
    int n;
    goods *g;
public:
    question(int w=0,int num=0,goods *b=NULL)
    {
        W=w;
        n=num;
        g=b;
    }
    void KnapSack()//动态规划求解背包问题
    {
        int p[n+1][W+1];//代表背包当前价值
        memset(p,0,sizeof(p));
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=W; j++)//对物品循环
            {
                if(j>=g[i].w)
                    p[i][j]=max(p[i-1][j],p[i-1][j-g[i].w]+g[i].v);
                else
                    p[i][j]=p[i-1][j];
            }
        }
         for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=W; j++)//代表对物品循环
            {
                cout<<p[i][j]<<"  ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
};

int main()
{
    goods s[6];
    s[0]=goods(0,0);
    s[1]=goods(2,6);
    s[2]=goods(2,3);
    s[3]=goods(6,5);
    s[4]=goods(5,4);
    s[5]=goods(4,6);

    int n=5;
    int W=10;
    question Q=question(W,n,s);
    Q.KnapSack();

    return 0;
}