最小生成树-Kruskal算法-python

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本文深入探讨了图论中的最小生成树概念及其Kruskal算法实现，通过实例详细解析了算法流程，从定义顶点和边开始，到排序、合并过程，最终生成最小生成树。

图的基本概念：

图：图由顶点集V和边集E组成，表示为G=(V,E)；
边权：边e具有权重，（结合不同环境具体可以理解为两点的距离、相似度）
树：任意两点都有路径相连，但是没有回路
最小生成树（MST:minimum spanning tree）：边权之和最小的树，n个顶点产生(n-1)个边

Kruskal算法原理：

将边按权重从小到大进行排序；
将每个顶点独立视为根节点，产生n个树；
依次选取每条边，如果边的两个顶点不属于同一个树，则将其合并，如果属于同一个树（意味着会形成回路），则将其舍弃，考虑下一条边，最后形成(n-1)条边

Kruskal算法解析

图1由顶点集{‘A’，‘B’，‘C’，‘D’，‘E’，‘F’，‘G’}和一系列带有权重的边组成（本质上n个顶点两两相连可以形成n(n-1)/2条边，图中省略部分边及边权）

将7个顶点视为7个树的根节点。首先选取权重最小的边e(BF)，其顶点为B、F，两点不属于同一棵树，故合并。

然后选取权重为3的边e(CD),两点也不属于同一棵树，故合并。

重复上述步骤，依此得到：

当选取到权重为6的边e(EF)时，发现顶点E,F同属于一棵树，故舍弃，最后最小生成树有两种情况，如图7，图8

实操

1.定义顶点

vertices=list('ABCDEFG')

2.定义边并按边权进行排序

edges = [("A", "B", 5), ("A", "G", 7),
         ("B", "F", 1), ("C", "F", 4),
         ("C", "D", 3), ("C", "E", 7),
         ("E", "F", 6), ("D", "E", 4),
         ("E", "G", 12),("F", "G", 12)]
edges.sort(key=lambda x:x[2])
print(edges)

输出如下：

3.将每个顶点视为一棵节点树，可以用字典表示，键表示顶点，键值表示顶点所在树的节点

ori_trees=dict()
for i in vertices:
    ori_trees[i]=i
print(ori_trees)

输出为：

4.根据边的两个顶点的根节点是否相同考虑是否合并

#寻找根节点
def find_node(x):
    if ori_trees[x]!=x:
        ori_trees[x]=find_node(ori_trees[x])
    return ori_trees[x]
#定义最小生成树
mst=[]
#定义循环次数，n为需要添加的边数=顶点数-1
n=len(vertices)-1
#循环
for edge in edges:
    v1,v2,_=edge
    if find_node(v1)!=find_node(v2):
        ori_trees[find_node(v2)]=find_node(v1)
        mst.append(edge)
        print('添加第'+str(7-n)+'条边后：')
        n-=1
        print(ori_trees)
        print(mst)
        if n==0:
            break

输出结果如下：

完整代码如下：

edges = [("A", "B", 5), ("A", "G", 7),
         ("B", "F", 1), ("C", "F", 4),
         ("C", "D", 3), ("C", "E", 7),
         ("E", "F", 6), ("D", "E", 4),
         ("E", "G", 12),("F", "G", 12)]
vertices=list('ABCDEFG')
edges.sort(key=lambda x:x[2])
ori_trees=dict()
for i in vertices:
    ori_trees[i]=i
#寻找根节点
def find_node(x):
    if ori_trees[x]!=x:
        ori_trees[x]=find_node(ori_trees[x])
    return ori_trees[x]
#定义最小生成树
mst=[]
#定义循环次数，n为需要添加的边数=顶点数-1
n=len(vertices)-1
#循环
for edge in edges:
    v1,v2,_=edge
    if find_node(v1)!=find_node(v2):
        ori_trees[find_node(v2)]=find_node(v1)
        mst.append(edge)
        print('添加第'+str(7-n)+'条边后：')
        n-=1
        print(ori_trees)
        print(mst)
        if n==0:
            break