6-5 赫夫曼树及其应用

1. 赫夫曼树，又称最优树，是一类带权路径长度最短的树，有着广泛的应用。

基本概念：

1. 路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的路径。

结点的路径长度：两结点间路径上的分支数。、

(b) 从 A 到 B, C, D, E, F, G,  

   H, I 的路径长度分别为

   1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3。

 

树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和。记作：TL

TL（a）＝0＋1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＝20
TL（b）＝0＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋3＋3＝16  

完全二叉树是路径长度最短的二叉树。

 

权：将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。

结点的带权路径长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和，记作：

哈夫曼树：最优树

带权路径长度 (WPL) 最短的树

哈夫曼树：最优二叉树

带权路径长度 (WPL) 最短的二叉树

哈夫曼树特点：

1. 满二叉树不一定是哈夫曼树   

2. 哈夫曼树中权越大的叶子离根越近   

3.具有相同带权结点的哈夫曼树不惟一

如何构造哈夫曼树？

1.构造森林全是根

2.选用两小造新树

3.删除两小添新人

4.重复 2、3 剩单根

例：有5 个结点 a, b, c, d, e，权值分别为 7, 5, 5, 2, 4，构造哈夫曼树。

例：如果需传送的电文为 ‘ABACCDA’，即：A, B, C, D 的频率（即权值）分别为 0.43, 0.14, 0.29, 0.14，试构造哈夫曼编码。

编码     A：0

             C：10

             B：110

             D：111

则电文 ‘ABACCDA’ 便为 ‘0110010101110’（共 13 位）。

 

例：如果需传送的电文为 ‘ABCACCDAEAE’，即：A, B, C, D, E 的频率（即权值）分别为 

0.36, 0.1, 0.27, 0.1, 0.18，试构造哈夫曼编码

 

 编码：A：11

             C：10

             E：00

             B：010

             D：011

则电文 ‘ABCACCDAEAE’ 便为 ‘110101011101001111001100’

（共 24 位，比 33 位短）。

 

权值大的放在右子树

 

哈夫曼树的性质：

1.包含 n 棵树的森林要经过 n–1 次合并才能形成哈夫曼树，共产生 n–1 个新结点

2.包含 n 个叶子结点的哈夫曼树中共有2n – 1 个结点。 

3.哈夫曼树的结点的度数为 0 或 2， 没有度为 1 的结点