怎么两边同时取ln_浅谈多项式ln和exp

作为一名辣鸡OIer，在搞多项式算法的时候可能最为含混不清的就是多项式的ln和exp了。于是作者就想略微总结一下，启到抛砖引玉的作用。

多项式ln

给定多项式

，求

。

---

第一眼看上去：对数？你在逗我吗，多项式取个对数还叫多项式...？

事实上我们是无法在模域下定义多项式的自然对数的，因此我们把它定义为一个多项式和麦克劳林级数的复合，也就是给出一个多项式

，则有

注意这里常数项必须为

。也就是说求对数的多项式必须满足

。

考虑对其求导后的结果

，有

（常数项默认为0）。于是对右边的式子在

的意义下做多项式求逆和多项式乘法，最后积分，就得到了左边的形式。

由于左右两边事实上不在模意义下做的话都可以展开成麦克劳林级数的形式并且形式相同，这里取模只是为了截取前面的一段。

多项式exp

给定多项式

，求

。

---

看到这种

的指数形式显然非常不好处理，于是采用等式两边同时

的方式。设

，则有

。构造函数

，牛顿迭代即可。

多项式

次幂

这里要多说一句的是

次幂。显然对于指数的整数部分可以快速幂，小数部分运用

进行求解。事实上当

的常数项不为

的时候我们是可以进行这样的运算的，可以直接把

乘到前面去（

为

的常数项的逆），于是可以用

来进行求解。但是注意到

如果仅仅是求ln的话是不能乘上逆元的，因为把

拆开来之后变成了

，而

本身就是没有定义的。

任意次的多项式的幂都可以用这个来计算。开放的时候要注意常数项的逆元的二次剩余的存在性问题，并且可能这种方法会比多项式开方慢一些。