次短路小结

次短路有两种计算方法。

方法一、更新最短路时同步更新次短路

对于一条端点为u、v的边，点v的次短路，要么是点u的次短路加边权，要么是点u的最短路加边权。
设两个数组，dist1存储最短路，dist2存储次短路，则存在下面的等式：
$$dist2[v]=min\{\begin{array}{rcl}dist2[u]+w& & \\ dist1[u]+w& & dist1[u]+w>dist1[v]\end{array}$$
在更新最短路的同时更新次短路即可。

代码

void spfa()
{
	queue<int> q;
	memset(dist,INF,sizeof(dist));
	memset(dist2,INF,sizeof(dist2));
	dist[1]=0;
	book[1]=true;
	q.push(1);
	while(q.size())
	{
		int u=q.front();q.pop();
		book[u]=false;
		for(int i=0;i<G[u].size();i++)
		{
			int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
			if(dist[v]>dist[u]+w)//更新最短路
			{
				dist2[v]=dist[v]; //同时更新次短路
				dist[v]=dist[u]+w;
				if(!book[v]) 
				{
					q.push(v);book[v]=true;
				}
			}
			if(dist2[v]>dist2[u]+w)
			{
				dist2[v]=dist2[u]+w;
				if(!book[v]) 
				{
					q.push(v);book[v]=true;
				}
			}
			if(dist2[v]>dist[u]+w && dist[u]+w>dist[v])
			{
				dist2[v]=dist[u]+w;
				if(!book[v]) 
				{
					q.push(v);book[v]=true;
				}
			}
		}
	}	
}

二、计算出最短路后再枚举

对于无向图，先从1跑一遍最短路，存储在dist1，再从n跑一遍最短路，存储在dist2，对于每一条边，计算dist1[u]+dist2[v]+w，从里面找出次短路。
等式如下：
$ans=\min (ans,dist1[u]+dist2[v]+w)\text{ 满足：(dist1[u]+dist2[v]+w)>dist1[n]}$

代码

图的存储

//建图
typedef pair<int,int> P;
vector<P> G[N];
for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
{
	scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
	G[x].push_back(make_pair(y,z));
	G[y].push_back(make_pair(x,z));
}

跑完最短路后，求次短路。

//dist1和dist2分别是起点为1和n的最短路径
int ans=0x3FFFFFFF;	
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<G[i].size();j++)
	{
		int w=G[i][j].second,v=G[i][j].first;
		if(dist[i]+dist2[v]+w>dist[n])
			ans=min(ans,dist[i]+dist2[v]+w);
	}