数据结构 （五）树之五花八门篇

普通二叉树:对二叉树的结点没有位置及数量上的要求

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

有序二叉树（又称二叉排序树，又称二叉查找树，亦称二叉搜索树）：左子树的所有结点都比双亲小，右子树的所有结点都比双亲大

平衡二叉树：左右高度相差不超过1的有序二叉树  （首先是有序的二叉树，树的左右子树的高度相差不超过1，并且子树的子树都满足这个要求） 

红黑树：实现平衡的一种手段   结点只有两种颜色：红和黑； 根节点是黑色；从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

线索二叉树 ：在二叉树的结点上加上线索的二叉树

平衡二叉搜索树：平衡二叉树和二叉搜索树的结合的结合

完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树的特点：

1.叶子结点在层次最大的两层出现；

2.满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

3.在完全二叉树中，若某个结点没有左孩子，则它一定没有右孩子，即该结点必是叶结点。

4.完全二叉树中，度为1的节点只能是1或者0个

完全二叉树的性质：

1.n个结点的完全二叉树的深度为大于以2为底n+1的对数的最小整数（>log2(n+1)的最小整数)。

2.将完全二叉树自顶而下，同一层自左向右编号，则有：

如果i=1，i为根，无双亲；如果i>1，双亲为结点 i/2

如果2i<=n，结点i的左孩子为结点2i；否则无左孩子

如果2i+1<=n，结点i的右孩子为结点2i+1，否则无右孩子

结点i所在的层次为log2n+1

i为奇数，且i!=1，i处于右兄弟的位置，它的左兄弟为结点i-1

i为偶数，且i!=n，i处于左兄弟的位置，它的右兄弟为结点i+1

3.2^(k-1) 或 pow(2,k-1)  算k层结点数

4.一棵有124个叶结点的完全二叉树，最多有248个结点   （248=124+123+1）

 

具有n个结点的不同二叉树有多少树形？

与用栈得出的从1到n的数字有多少不同的排列具有相同的结论：C(2n,n)/(n+1) （C(2n,n)表示2n里取n）

 

设n个数出栈方式数量为f(n)
因为入栈的顺序是确定的，下标记为1,2,3,...n
设最后一个出栈的是第k个数，则说明k之前的k-1个数先完成进栈出栈，有f(k-1)种方式；

然后k之后的n-k个数再完成进栈出栈，有f(n-k)种方式；最后第k个数出栈。
这时就有f(k-1)*f(n-k)种方式
而每一个数都有可能是最后出栈的

所以有f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+...+f(k-1)*f(n-k)+...+f(n-1)*f(0)
上面f(0)=1是为了写成统一式：f(n)=f(k-1)*f(n-k)
由上式的通项就是卡特兰数f(n)=C(2n,n)/(n+1)