【清华集训 2013】楼房重建（线段树）

题目链接：【清华集训 2013】楼房重建

题意转化：动态维护一个单调栈，支持单点修改，整体查询单调栈长度。

使用线段树。对于每个节点，维护 $max[root]$ 表示区间最大值，$cnt[root]$ 表示区间中的单调栈的长度。在自底向上 maintain 的时候，$cnt[root]=cnt[lson]+calc(rson,max[lson])$，其中 $calc(root,value)$ 表示只保留 $>value$ 的元素，$root$ 区间的单调栈长度。

我们考虑如何计算 $calc$。当 $value>max[lson]$ 时，说明左区间对答案没有贡献，答案为 $calc(rson,value)$。否则，答案为 $calc(lson,value)+calc(rson,max[lson])$。

我们发现 $value\le max[lson]$ 的时候两边都要递归下去，时间复杂度时 $\Theta(n)$ 的，会超时。其实 $calc(rson,max[lson])$ 就是 $cnt[root]-cnt[lson]$（请读者自行思考）。这样，我们就得到了一个 $\Theta(m\log_2^2n)$ 的算法。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 100005;
const int maxm = 1 << 18 | 1;
int n, m, cnt[maxm];
double val[maxn], mx[maxm];

int calc(int u, int l, int r, double x) {
    if (l == r) {
        if (x < mx[u]) {
            return 1;
        } else {
            return 0;
        }
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    int ls = u << 1, rs = ls | 1;
    if (x < mx[ls]) {
        return cnt[u] - cnt[ls] + calc(ls, l, mid, x);
    } else {
        return calc(rs, mid + 1, r, x);
    }
}

void modify(int u, int l, int r, int x, double y, double z) {
    if (l == r) {
        mx[u] = y;
        cnt[u] = 1;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    int ls = u << 1, rs = ls | 1;
    if (x <= mid) {
        modify(ls, l, mid, x, y, z);
    } else {
        modify(rs, mid + 1, r, x, y, mx[ls]);
    }
    mx[u] = max(mx[ls], mx[rs]);
    cnt[u] = cnt[ls] + calc(rs, mid + 1, r, mx[ls]);
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int a, b, i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        val[a] = 1. * b / a;
        modify(1, 1, n, a, val[a], -1);
        printf("%d\n", cnt[1]);
    }
    return 0;
}