【SDOI 2010】古代猪文（组合计数）_组合数古代算法-优快云博客

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本文解析了一道算法题“古代猪文”，该题要求计算特定组合数的幂次模运算。文章提供了详细的解题思路，包括如何通过分解质因数和利用中国剩余定理来简化计算过程。

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题目链接：【BZOJ 1951】古代猪文

题目大意：给定正整数 $q,n(1\le q,n\le 10^9)$ ，求 $q^{\sum_{d|n}{C_n^d}}\mod 999911659$ 。

若 $q=999911659$ ，则上试结果为 $0$ 。
否则，因为 $999911659$ 是素数，所以 $q,n$ 互素。由欧拉定理，得：

q \sum d | n C d n \equiv q \sum d | n C d n mod 999911658 mod 999911659

$q^{\sum_{d|n}{C_n^d}}≡q^{\sum_{d|n}{C_n^d}\mod 999911658}\mod 999911659$

关键在于计算 $\sum_{d|n}{C_n^d}\mod 999911658$ 的值。
发现模数太大了，不能直接用Lucas定理求解。我们要换一种思路。

分解素因数得： $999911658=2\times 3\times 4679\times 35617$ 。我们只要分别计算 $\sum_{d|n}{C_n^d}\mod 2,3,4679,35617$ 的值，就可以用中国剩余定理或者exgcd计算出指数，从而用快速幂算出最终的答案。

#include <cstdio>
typedef long long ll;
const ll mod = 999911659;
const ll mo[] = {2, 3, 4679, 35617};
const ll m[] = {mod / 2, mod / 3, mod / 4679, mod / 35617};
const ll maxm = 35627;
ll n, g, cmo, cm, fac[maxm], inv[maxm], res, ans;
ll mpow(ll x, ll y, ll z) {
    ll u = 1;
    for (; y; y >>= 1) {
        if (y & 1) {
            u = x * u % z;
        }
        x = x * x % z;
    }
    return u;
}
ll calc(ll a, ll b) {
    if (b < 0 || b > a) {
        return 0;
    } else if (b == 0 || b == a) {
        return 1;
    } else {
        return fac[a] * inv[a - b] % cmo * inv[b] % cmo;
    }
}
ll lucas(ll a, ll b) {
    if (a | b) {
        return lucas(a / cmo, b / cmo) * calc(a % cmo, b % cmo) % cmo;
    } else {
        return 1;
    }
}
int main() {
    scanf("%lld %lld", &n, &g);
    if (g == mod) {
        puts("0");
        return 0;
    }
    for (int k = 0; k < 4; k++) {
        cmo = mo[k], cm = m[k];
        fac[0] = 1, inv[0] = 1;
        for (int i = 1; i < cmo; i++) {
            fac[i] = fac[i - 1] * i % cmo;
            inv[i] = mpow(fac[i], cmo - 2, cmo);
        }
        res = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            if (n % i == 0) {
                if (i * i == n) {
                    res = (res + lucas(n, i)) % cmo;
                } else {
                    res = (res + lucas(n, i)) % cmo;
                    res = (res + lucas(n, n / i)) % cmo;
                }
            }
        }
        ll t = mpow(cm, cmo - 2, cmo) * cm % (mod - 1);
        ans = (ans + t * res % (mod - 1)) % (mod - 1);
    }
    printf("%lld\n", mpow(g, ans, mod));
    return 0;
}