简单最短路径问题及模板

本文主要介绍用Floyd和dijkstra算法解决简单最短路径问题。

Floyd算法

1.复杂度：O（n3）

2.适用范围：数据范围小的情况下可用于计算所有点间的最短路，且可以解决带有负权边的图，但不能用于解决负权环（带有负权边的回路）问题。

3.思想：中转。比较 点i和点j间的现有最短路径 与 点i通过点k中转到达点k的路径 的大小，从而更新最短路。注意在三层for循环中，中转点k的for循环要放在最外层，从而保证现有的ij点间的路径长度已是被点1~k-1中转过后的最短路，这样才能保证结果的正确性。

4.代码实现（模板）

for(int k = 1; k<=n; k++)
    for(int i = 1; i<=n; i++)
        for(int j = 1; j<=n; j++）
{
       mp[i][j] = min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j])
}

dijkstra算法

1.复杂度：O（n2）

2.适用范围：计算单源最短路，不能处理负权边

3.思想：松弛。每次找到离源点最近的点，以该点为中心进行扩展（这是一个循环的过程，找到距离u点最短的点，以该点为中心进行扩展，而后继续再找距离该点距离最短的点…………），最终得到源点至所有点的最短路径。

4.代码实现（模板）

int mp[maxn][maxn],d[maxn],used[maxn];
void dijkstra()
{
    for(int i = 0; i<maxn; i++)
    {
        d[i] = mp[0][i];
        used[i] = 0;
    }
    while(true)
    {
        int pos = -1;
        for(int u = 0; u<maxn; u++)
        {
            if(!used[u] && (pos == -1 || d[u]<d[pos]))
                pos = u;
        }
        if(pos == -1) break;
        used[pos] = 1;
        for(int j = 0; j<maxn; j++)
            d[j] = min(d[j],d[pos]+mp[pos][j]);
    }
}