逻辑回归（Logistic Regression）

逻辑回归：

几乎是一个单个神经元，二分类问题

logistic回归又称logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘，疾病自动诊断，经济预测等领域。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。以胃癌病情分析为例，选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群必定具有不同的体征与生活方式等。因此因变量就为是否胃癌，值为“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。然后通过logistic回归分析，可以得到自变量的权重，从而可以大致了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。同时根据该权值可以根据危险因素预测一个人患癌症的可能性。

logistic回归是一种广义线性回归（generalized linear model），因此与多重线性回归分析有很多相同之处。它们的模型形式基本上相同，都具有 w‘x+b，其中w和b是待求参数，其区别在于他们的因变量不同，多重线性回归直接将w‘x+b作为因变量，即y =w‘x+b，而logistic回归则通过函数L将w‘x+b对应一个隐状态p，p =L(w‘x+b),然后根据p 与1-p的大小决定因变量的值。如果L是logistic函数，就是logistic回归，如果L是多项式函数就是多项式回归。 

logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释，多类可以使用softmax方法进行处理。实际中最为常用的就是二分类的logistic回归。 

Logistic回归模型的适用条件

1 因变量为二分类的分类变量或某事件的发生率，并且是数值型变量。但是需要注意，重复计数现象指标不适用于Logistic回归。

2 残差和因变量都要服从二项分布。二项分布对应的是分类变量，所以不是正态分布，进而不是用最小二乘法，而是最大似然法来解决方程估计和检验问题。

3 自变量和Logistic概率是线性关系

4 各观测对象间相互独立。

原理：如果直接将线性回归的模型扣到Logistic回归中，会造成方程二边取值区间不同和普遍的非直线关系。因为Logistic中因变量为二分类变量，某个概率作为方程的因变量估计值取值范围为0-1，但是，方程右边取值范围是无穷大或者无穷小。所以，才引入Logistic回归。 

Logistic回归实质：发生概率除以没有发生概率再取对数。就是这个不太繁琐的变换改变了取值区间的矛盾和因变量自变量间的曲线关系。究其原因，是发生和未发生的概率成为了比值，这个比值就是一个缓冲，将取值范围扩大，再进行对数变换，整个因变量改变。不仅如此，这种变换往往使得因变量和自变量之间呈线性关系，这是根据大量实践而总结。所以，Logistic回归从根本上解决因变量要不是连续变量怎么办的问题。还有，Logistic应用广泛的原因是许多现实问题跟它的模型吻合。例如一件事情是否发生跟其他数值型自变量的关系。

注意：如果自变量为字符型，就需要进行重新编码。一般如果自变量有三个水平就非常难对付，所以，如果自变量有更多水平就太复杂。这里只讨论自变量只有三个水平。非常麻烦，需要再设二个新变量。共有三个变量，第一个变量编码1为高水平，其他水平为0。第二个变量编码1为中间水平，0为其他水平。第三个变量，所有水平都为0。实在是麻烦，而且不容易理解。最好不要这样做，也就是，最好自变量都为连续变量。

具体：

Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于它们的因变量不同，其他的基本都差不多。正是因为如此，这两种回归可以归于同一个家族，即广义线性模型（generalizedlinearmodel）。 
这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。

·        如果是连续的，就是多重线性回归

·        如果是二项分布，就是Logistic回归

·        如果是Poisson分布，就是Poisson回归

·        如果是负二项分布，就是负二项回归

Regression常规步骤

·        寻找h函数（即预测函数）

·        构造J函数（损失函数）

·        想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）

https://blog.youkuaiyun.com/chibangyuxun/article/details/53148005

http://blog.youkuaiyun.com/pakko/article/details/37878837

http://www.powerxing.com/logistic-regression-in-python/

二、Python实现逻辑回归

from sklearn.linearmodel import LogisticRegression
Model = LogisticRegression()
Model.fit(X_train, y_train)
Model.score(X_train,y_train)
# Equation coefficient and Intercept
Print(‘Coefficient’,model.coef_)
Print(‘Intercept’,model.intercept)
# Predict Output
Predicted = Model.predict(x_test)

它始于输出结果为有实际意义的连续值的线性回归，但是线性回归对于分类的问题没有办法准确而又具备鲁棒性地分割，因此我们设计出了逻辑回归这样一个算法，它的输出结果表征了某个样本属于某类别的概率。

逻辑回归的成功之处在于，将原本输出结果范围可以非常大的θ^TX 通过sigmoid函数映射到(0,1)，从而完成概率的估测。

而直观地在二维空间理解逻辑回归，是sigmoid函数的特性，使得判定的阈值能够映射为平面的一条判定边界，当然随着特征的复杂化，判定边界可能是多种多样的样貌，但是它能够较好地把两类样本点分隔开，解决分类问题。

求解逻辑回归参数的传统方法是梯度下降，构造为凸函数的代价函数后，每次沿着偏导方向(下降速度最快方向)迈进一小部分，直至N次迭代后到达最低点。