【bzoj4917】杜教筛

最新推荐文章于 2019-11-03 01:11:30 发布

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本文深入探讨了杜教筛算法的原理及其在求解数论问题中的应用，通过具体的代码实现展示了如何利用该算法高效计算平方的前缀和。文章首先介绍了杜教筛的基本思想，随后详细解释了其在求解特定数论问题中的步骤，最后通过一个完整的代码示例，展示了算法的实际应用过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.杜教筛推到一下即可，就会发现是卷积出来的函数是平方的前缀和，杜教筛的板子拿出来A了。

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include <cstdio>
#include <map>
#pragma warning(disable:4996)
#define N 1000010
#define mod 6000000042ll
using namespace std;
typedef long long ll;
map<ll, ll> f;
map<ll, ll>::iterator it;
ll m = 1000000, phi[N], prime[N], tot, sum[N];
bool np[N];
ll s1(ll l, ll r)
{
	return (l + r) * (r - l + 1) % mod / 2;
}
ll s2(ll x)
{
	return x * (x + 1) % mod * (2 * x + 1) % mod / 6;
}
ll query(ll n)
{
	if (n <= m) return sum[n];
	it = f.find(n);
	if (it != f.end()) return it->second;
	ll ans = s2(n), i, last;
	for (i = 2; i <= n; i = last + 1) last = n / (n / i), ans = (ans - s1(i, last) * query(n / i) % mod + mod) % mod;
	f[n] = ans;
	return ans;
}
int main()
{
	ll i, j, n;
	phi[1] = sum[1] = 1;
	for (i = 2; i <= m; i++)
	{
		if (!np[i]) phi[i] = i - 1, prime[++tot] = i;
		for (j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= m; j++)
		{
			np[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
		sum[i] = (sum[i - 1] + i * phi[i]) % mod;
	}
	scanf("%lld", &n);
	printf("1 %lld\n", query(n) % 1000000007);
	return 0;
}