diff函数求函数的导函数、偏导函数,及在某一点的导数、偏导数 --python

本文介绍了如何利用Python的SymPy库进行数学符号计算,包括求导数、偏导数等高级数学运算。通过具体代码示例展示了如何定义变量、构建表达式以及计算一阶导数和偏导数。

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import scipy 
from math import sin,cos,exp
from sympy import *

x=Symbol('x')
y=Symbol('y')

#求导函数及导数
z1=x**3
diff(z1,x)    #关于x的导函数   即 3*x**2
diff(z1,x).subs(x,5)   #在x=5处的导数  即 75


#求偏导函数及偏导数
z2=x**2+y**3
diff(z2,x)       #关于x的偏导函数   即 2*x
diff(z2,x).subs(x,4)   #在x=4处的偏导数  即 8

 

### 多元函数偏导数的计算方法 #### 数学原理 对于多元函数 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \),其偏导数表示当其他变量保持不变时,仅针对某一特定变量的变化率。这一概念可以看作是一维函数导数的扩展形式[^1]。 如果考虑二元函数 \( z = f(x, y) \),那么关于 \( x \) 的偏导数定义为: \[ f_x(x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \] 同样地,关于 \( y \) 的偏导数定义为: \[ f_y(x, y) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} \] 上述表达式表明,在计算某个变量的偏导数时,其余变量被视作常量处理[^2]。 #### 计算方法 以下是具体的计算过程示例: 给定三元函数 \( w = f(x, y, z) = x^2y + e^{yz} + \sin(z) \),分别对其三个自变量偏导数- 关于 \( x \) 的偏导数: \[ \frac{\partial w}{\partial x} = 2xy \] 在此过程中,\( y \) 和 \( z \) 被视为常数。 - 关于 \( y \) 的偏导数: \[ \frac{\partial w}{\partial y} = x^2 + ze^{yz} \] 这里,\( x \) 和 \( z \) 是固定值。 - 关于 \( z \) 的偏导数: \[ \frac{\partial w}{\partial z} = ye^{yz} + \cos(z) \] 此时,\( x \) 和 \( y \) 不再发生变化。 #### 示例代码 下面是一个 Python 实现的例子,用于验证以上推导的结果: ```python import sympy as sp # 定义符号变量 x, y, z = sp.symbols('x y z') # 定义函数 w = x**2 * y + sp.exp(y*z) + sp.sin(z) # 对各变量偏导数 dw_dx = sp.diff(w, x) dw_dy = sp.diff(w, y) dw_dz = sp.diff(w, z) print(f"∂w/∂x = {dw_dx}") print(f"∂w/∂y = {dw_dy}") print(f"∂w/∂z = {dw_dz}") ``` 运行此程序会得到与手动计算一致的结果。 ---
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