程序设计方法学--2019/03/22--“Hankson的趣味题”

一、基本要求

求N个数的最大公约数和最小公倍数。用C或C++或java或python语言实现程序解决问题。

1. 程序风格良好(使用自定义注释模板)
2. 提供友好的输入输出，并进行输入数据的正确性验证。

二、提高要求

Hanks博士是BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c₁和c₂的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a₀,a₁,b₀,b₁，设某未知正整数x满足：

1. x和a₀的最大公约数是a₁；
2. x和b₀的最小公倍数是b₁。

Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式
输入第一行为一个正整数n，表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据，为四个正整数a₀，a₁，b₀，b₁，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a₀能被a₁整除，b₁能被b₀整除。

输出格式
输出共n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的x，请输出0；
若存在这样的x，请输出满足条件的x的个数；

样例输入	样例输出
2 41 1 96 288 95 1 37 1776	6 2

三、算法设计

1. 基础要求

1. 欧几里得算法
   $$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$
2. 利用GCD求解LCM
   $$lcm(a,b)=\frac{a\cdot b}{gcd(a,b)}$$
3. 多值求解
   $$gcd(v_1,v_2,v_3,...,v_n)=\{\begin{array}{rlr}gcd(v_n,gcd(v_{n-1},v_{n-2}))& ,& n>2\\ gcd(v_1,v_2)& ,& n=2\end{array}$$

$$lcm(v_1,v_2,v_3,...,v_n)=\frac{{\prod }_{i=1}^n{v}_i}{gcd(v_1,v_2,v_3,...,v_n{)}^{n-1}}$$

4. 构建算法如下：

• GCD
  
• LCM（在my_lcm中调用my_gcd函数计算公约数)
  
  利用上述公式，进行循环迭代即可求解。
  注意在计算LCM时，应当先除再乘避免数据溢出。

2. 提高要求

1. 从题目中可以得知：
   $$\{\begin{array}{rlr}gcd(x,a_0)& =& a_1\\ \frac{x\cdot b_0}{gcd(x,b_0)}& =& b_1\end{array}$$
2. 由数论唯一分解定理可以得出：
   $$\{\begin{array}{rlr}gcd\left(\frac{x}{a_1},\frac{a_0}{a_1}\right)& =& 1\\ gcd\left(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}{x}\right)& =& 1\end{array}$$
3. 所以 x/a₁ 与 a₀/a₁ 互质，b₁/b₀ 与 b₁/x 互质。
4. 又因为题中有a₁ > a₀ and b₁ > b₀，那么可以看出x是a₁的整数倍，同时x也是b₁的因子。
   即：若b₁ mod a₁ ≠ 0，那么一定无解。
5. 题意转换为枚举b₁的因子，那么：$$\exists X|X=a_1\cdot K，K\in N^{+}$$
6. 写出算法：
   
   遍历到√(b₁ )即可，可减少迭代次数。

四、调试和测试

1. 调试（基本要求）

输入3，6，7，8四个数，并进行计算（具有检测输入非法，即捕获Value Error异常，并且输入的数不小于1）

迭代计算最小公倍数。

2. 调试（提高要求）

输入测试用例后，迭代枚举b_1的因子，满足条件后更新计数器。

3. 测试（基础要求）

4. 测试（提高要求）

五、总结与归纳

基础部分对GCD和LCM的求解有了更深刻的认识，个人也推导出了下面的公式：
$$gcd(v_1,v_2,v_3,...,v_n)=\{\begin{array}{rlr}gcd(v_n,gcd(v_{n-1},v_{n-2}))& ,& n>2\\ gcd(v_1,v_2)& ,& n=2\end{array}$$

$$lcm(v_1,v_2,v_3,...,v_n)=\frac{{\prod }_{i=1}^n{v}_i}{gcd(v_1,v_2,v_3,...,v_n{)}^{n-1}}$$
提高部分的要点就在数论的那里，熟悉了算术基本定理（正整数的唯一分解定理）

每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

转化题意后优化迭代算法，最终得出答案。