程序设计方法学--2019/03/22--“Hankson的趣味题”
一、基本要求
求N个数的最大公约数和最小公倍数。用C或C++或java或python语言实现程序解决问题。
1.
程序风格良好(使用自定义注释模板)
2.提供友好的输入输出,并进行输入数据的正确性验证。
二、提高要求
Hanks博士是BT(Bio-Tech,生物技术)领域的知名专家,他的儿子名叫Hankson。现在,刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x满足:
- x和a0的最大公约数是a1;
- x和b0的最小公倍数是b1。
Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后,他发现这样的x并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入格式
输入第一行为一个正整数n,表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据,为四个正整数a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除,b1能被b0整除。
输出格式
输出共n行。每组输入数据的输出结果占一行,为一个整数。
对于每组数据:若不存在这样的x,请输出0;
若存在这样的x,请输出满足条件的x的个数;
样例输入 | 样例输出 |
---|---|
2 41 1 96 288 95 1 37 1776 | 6 2 |
三、算法设计
1. 基础要求
- 欧几里得算法
g c d ( a , b ) = g c d ( b , a   m o d   b ) gcd(a,b)=gcd(b, a \, mod \, b) gcd(a,b)=gcd(b,amodb) - 利用GCD求解LCM
l c m ( a , b ) = a ⋅ b g c d ( a , b ) lcm(a,b)=\frac{a\cdot b}{gcd(a,b)} lcm(a,b)=gcd(a,b)a⋅b - 多值求解
g c d ( v 1 , v 2 , v 3 , . . . , v n ) = { g c d ( v n , g c d ( v n − 1 , v n − 2 ) ) , n > 2 g c d ( v 1 , v 2 )     , n = 2 gcd(v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n})= \left\{ \begin{aligned} gcd(v_{n}, gcd(v_{n-1}, v_{n-2})) & , & n>2 \\ gcd(v_{1}, v_{2})\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\, & , & n=2 \\ \end{aligned} \right. gcd(v1,v2,v3,...,vn)={gcd(vn,gcd(vn−1,vn−2))gcd(v1,v2),,n>2n=2
l c m ( v 1 , v 2 , v 3 , . . . , v n ) = ∏ i = 1 n v i g c d ( v 1 , v 2 , v 3 , . . . , v n ) n − 1 lcm(v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n})=\frac{\prod ^n _{i=1}v_{i}}{gcd(v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n})^{n-1}} lcm(v1,v2,v3,...,vn)=gcd(v1,v2,v3,...,vn)n−1∏i=1nvi
- 构建算法如下:
- GCD
- LCM(在my_lcm中调用my_gcd函数计算公约数)
利用上述公式,进行循环迭代即可求解。
注意在计算LCM时,应当先除再乘避免数据溢出
。
2. 提高要求
- 从题目中可以得知:
{ g c d ( x , a 0 ) = a 1 x ⋅ b 0 g c d ( x , b 0 ) = b 1 \left\{ \begin{aligned} gcd(x,a_{0}) & = & a_{1} \\ \frac{x\cdot b_{0}}{gcd(x,b_{0})} & = & b_{1} \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧gcd(x,a0)gcd(x,b0)x⋅b0==a1b1 - 由数论唯一分解定理可以得出:
{ g c d ( x a 1 , a 0 a 1 ) = 1 g c d ( b 1 b 0 , b 1 x ) = 1 \left\{ \begin{aligned} gcd\left( \frac{x}{a_{1}},\frac{a_{0}}{a_{1}} \right) & = & 1 \\ gcd\left( \frac{b_{1}}{b_{0}},\frac{b_{1}}{x} \right) & = & 1 \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧gcd(a1x,a1a0)gcd(b0b1,xb1)==11 - 所以 x/a1 与 a0/a1 互质,b1/b0 与 b1/x 互质。
- 又因为题中有a1 > a0 and b1 > b0,那么可以看出x是a1的整数倍,同时x也是b1的因子。
即:若b1 mod a1 ≠ 0,那么一定无解。 - 题意转换为枚举b1的因子,那么: ∃ X ∣ X = a 1 ⋅ K , K ∈ N + \exist X|X=a_{1}\cdot K,K\in N^{+} ∃X∣X=a1⋅K,K∈N+
- 写出算法:
遍历到√(b1 )即可,可减少迭代次数。
四、调试和测试
1. 调试(基本要求)
输入3,6,7,8四个数,并进行计算(具有检测输入非法,即捕获Value Error异常,并且输入的数不小于1)
迭代计算最小公倍数。
2. 调试(提高要求)
输入测试用例后,迭代枚举b_1的因子,满足条件后更新计数器。
3. 测试(基础要求)
4. 测试(提高要求)
五、总结与归纳
基础部分对GCD和LCM的求解有了更深刻的认识,个人也推导出了下面的公式:
g
c
d
(
v
1
,
v
2
,
v
3
,
.
.
.
,
v
n
)
=
{
g
c
d
(
v
n
,
g
c
d
(
v
n
−
1
,
v
n
−
2
)
)
,
n
>
2
g
c
d
(
v
1
,
v
2
)
   
,
n
=
2
gcd(v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n})= \left\{ \begin{aligned} gcd(v_{n}, gcd(v_{n-1}, v_{n-2})) & , & n>2 \\ gcd(v_{1}, v_{2})\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\, & , & n=2 \\ \end{aligned} \right.
gcd(v1,v2,v3,...,vn)={gcd(vn,gcd(vn−1,vn−2))gcd(v1,v2),,n>2n=2
l
c
m
(
v
1
,
v
2
,
v
3
,
.
.
.
,
v
n
)
=
∏
i
=
1
n
v
i
g
c
d
(
v
1
,
v
2
,
v
3
,
.
.
.
,
v
n
)
n
−
1
lcm(v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n})=\frac{\prod ^n _{i=1}v_{i}}{gcd(v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n})^{n-1}}
lcm(v1,v2,v3,...,vn)=gcd(v1,v2,v3,...,vn)n−1∏i=1nvi
提高部分的要点就在数论的那里,熟悉了算术基本定理(正整数的唯一分解定理)
每个大于1的自然数,要么本身就是质数,要么可以写为2个或以上的质数的积,而且这些质因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。
转化题意后优化迭代算法,最终得出答案。